WisFaq!

Re: Differentiaalvergelijkingen

om eerlijk te zijn, begrijp ik de uitleg nog steeds niet Christophe..

Mirna
14-7-2003

Antwoord

Oké, nog eens dan:

In je vraag staat: "de totale lengteverandering per dag is dus evenredig met het procuct deze twee factoren", en die factoren zijn y en (4-y). Dus: dy/dt = Cy(4-y), want evenredig betekent: op een constante factor na, gelijk (dit is al het antwoord op a). Je wil de variabelen scheiden, dwz: links alles met een y, rechts alles met een t. Dit wordt: ^dy/_y(4-y) = Cdt. Op die manier kan je immers links en rechts integreren. Wat zijn nu je integratiegrenzen? Wel als t van 0 naar 30 gaat, gaat y van 0.1 naar 1, is gegeven in deel b.

De situatie is dus nu:
ò¹_0.1 ^dy/_4y-y² = C ò₀³⁰dt. (*)
Je moet beide integralen nu nog oplossen (de rechtse is zeer eenvoudig, dat is gewoon 30C), de linkse moet je oplossen door ¹/_4y-y² te schrijven als ¹/_4y + ¹/_4(4-y). Dat is dan makkelijk te integreren, het levert tweemaal een ln, meer bepaald:

1/4[lny]¹_0.1 - 1/4[ln(4-y)]¹_0.1 = C[t]₀³⁰

Op die manier kan je je C nu bepalen, want dat is de enige onbekende die overblijft nadat je geïntegreerd hebt en de grenzen hebt ingevuld. Ik kwam uit op C = 0.02137.

Rest nog de laatste vraag: wanneer is y=3.5? Daarvoor gaan we terug naar de integraalvoorstelling (*), maar nu met grenzen voor t: 0 en x en voor y: 0.1 en 3.5. Dat is logisch: op t=0 was y=0.1, op t=x (de gevraagde tijd) moet y=3.5 zijn. Bovendien ken je uit vraag b) de waarde van de constante C, dus kom je na wat rekenwerk op x = 65.609 dagen.

Succes morgen,
Groeten
Christophe.

Christophe
14-7-2003