WisFaq!

Integralen oplossen met partieelbreuken

Volgende integraal moet opgelost worden:
ò(2x²+5x-1)/(x³+x²-2x)

De noemer (of is het de teller) kan je ontbinden in x(x-1)(x+2). Je krijgt dan (2x²+5x-1)/(x³+x²-2x)=(2x²+5x-1)/[x(x-1)(x+2)]=A₁/x + A₂/(x-1) + A₃/(x+2).

Maar hoe bepaal je nu juist die verschillende A's, want daar snap ik echt niets van. Een duidelijke, stap voor stap uitleg zou mij enorm kunnen helpen.
Alvast bedankt!

Roel De Nijs
19-6-2003

Antwoord

laat ik je A's even anders noemen, dat typt voor mij wat makkelijker:

A/x + B/(x-1) + C/(x+2) allemaal bij elkaar opgeteld moet weer (2x²+5x-1)/{x(x-1)(x+2)} opleveren.
Laten we die optelling dus eens uitvoeren:

A(x-1)(x+2)/{x(x-1)(x+2)} + Bx(x+2)/{x(x-1)(x+2)} + Cx(x-1)/{x(x-1)(x+2)}
= {A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1)}/{x(x-1)(x+2)}
= {A(x²+x-2) + B(x²+2x) + C(x²-x)}/{x(x-1)(x+2)}
= {(A+B+C)x² + (A+2B-C)x -2A}/{x(x-1)(x+2)}

componentsgewijs de teller van het bovenstaande vergelijken met de teller van (2x²+5x-1)/{x(x-1)(x+2)} levert 3 vgl:

A+B+C=2
A+2B-C=5
-2A=-1

hieruit kun je A,B en C destilleren.
zou je 't vanaf hier weer alleen kunnen?

groeten,
martijn

mg
19-6-2003