WisFaq!

Vuistregel sinusreeks

Ik ben bezig met een wiskunde PO. Deze gaat over de reeks: sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! ....enz. Nu moeten ik een vuistregel verzinnen die aangeeft (bij een gekozen nauwkeurigheid) tot de hoeveelste term je moet gaan. Ik heb een programma geschreven in m'n rekenmachine en bij een heleboel waarden de nauwkeurigheid opgeschreven maar kan geen vuistregel bedenken. Ik hoop dat u misschien een opzetje of misschien een oplossing kan geven voor dit probleem.

Dicos
18-6-2003

Antwoord

De stelling van Taylor zegt dat

f(x) = f(0) + xf'(0) + x²f"(0)/2 + ... + xⁿf⁽ⁿ⁾/n! + xⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!

waarbij de t, die enkel in de laatste term voorkomt, een getal is dat in het interval [0,x] ligt. Stel dus dat je de reeks afbreekt bij de term met graad n. Dan maak je blijkbaar een fout die gelijk is aan de restterm, alleen ken je de waarde van t niet die de gelijkheid doet kloppen.

Omdat alle afgeleiden van de sinusfunctie sinussen of cosinussen zijn, weet je echter wel dat |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|1. We kunnen dus zeggen dat

|FOUT| |x|ⁿ⁺¹/(n+1)!

Hieruit kan je dan voor een gegeven |FOUT| en |x| een waarde van n vinden. Misschien niet echt een "vuistregel", maar wel een systematische manier die voldoende nauwkeurigheid garandeert.

cl
19-6-2003