WisFaq!

Cirkels

Kunnen jullie me met de volgende vraag op weg helpen? Alvast bedankt!

Van driehoek ABC is zijde AC groter dan zijde BC. Punt N is het midden van boog AB van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. NE is de loodlijn vanuit N op AC en NF is de loodlijn vanuit N op BC.
a: bewijs dat lengte NE = lengte NF
b: bewijs dat lengte AE= lengte BF

Femke
18-6-2003

Antwoord

a) Noem M het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De middelpuntshoeken AMN en BMN zijn gelijk, want ze staan op gelijke bogen. De omtrekshoek ACN is gelijk aan de helft van AMN, de omtrekshoek BCN is gelijk aan de helft van BMN. Dus de twee omtrekshoeken zijn ook gelijk. Daaruit volgt dan dat CN de bissectrice is van de hoek BCA, en een eigenschap van punten op de bissectrice van een hoek is dat ze even ver liggen van de benen van die hoek, dus in ons geval |NE|=|NF|

b) Uit a) volgt nu de congruentie van de driehoeken NAE en NBF zodat |AE|=|BF|

cl
20-6-2003