Hallo,
Het gaat om de volgende functie:(x²+x-2)/(x-2)
Voer je de staartdeling uit,dan wordt de uitkomst:
x + 3 + 4/(x-2):
Als x naar oneindig gaat,dan naderen de functiewaarden tot de lijn x+3 (schuine asymptoot). Tot dusver niks bijzonders.
Echter,als ik in voornoemde functie de teller en de noemer
deel door x,blijft het in wezen dezelfde functie,dit is toegestaan zolang x ongelijk 0 is.
De teller wordt dan x+1-2/x:De noemer wordt 1-2/x
Gaat x nu weer naar oneindig,dan gaat 2/x naar 0 en gaat de
teller naar x+1.De noemer gaat dan naar 1.
Dus de functiewaarden gaan naar (x+1)/1=x+1(schuine asymp-
toot).
Dit leidt tot een tegenspraak:De functiewaarden kunnen niet
naderen naar twee verschillende schuine asymptoten.
Waar zit de denkfout?
m.vr.gr.R.Trienekens
2-6-2003
De lijn y = ax + b is scheve asymptoot van de grafiek van functie f wanneer de limiet van [f(x) - (ax + b) = 0 voor x ®¥.
In het voorbeeld klopt dit inderdaad voor de lijn y = x + 3.
Immers: f(x) - (x + 3) = 4/(x - 2) en voor x ® ¥ wordt dit inderdaad 0.
In de tweede situatie gaat dit fout. Het verschil der functies is nu gelijk aan (x + 1 - 2/x)/(1 - 2/x) - (x + 1) hetgeen na een herleiding gelijk is aan 4/(x - 2) - (x + 1) + x + 3 = 4/(x - 2) + 2, zodat de limiet 2 wordt wanneer x naar oneindig gaat. Die 2 is natuurlijk precies het verschil tussen de 'echte' en de 'valse' asymptoot.
Het enige dat je uit jouw tweede aanpak kunt halen is dat de grafiek van de functie f en de lijn y = x + 1 qua gedrag steeds meer op elkaar gaan lijken.
MBL
2-6-2003
#11954 - Limieten - Iets anders