WisFaq!

Tripel integraal

òòòf(x,y,z)dV=òòòf(rcosJ,rsinJ,z)rdrdJdz
toon aan dan dV=rdrdJdz via grafische weg

camphijn lindsy
21-5-2003

Antwoord

Hallo Lindsy,
dV is een elementair volumetje, met lengte dx, breedte dy en hoogte dz. Als je nu in cilindercoördinaten r,q,z gaat werken, zien de afmetingen van dat volumetje er ietwat anders uit: de hoogte is nog steeds dz, maar teken vanuit de oorsprong een zeer kleine hoek (dit is dq), dus dat geeft een zeer smalle spie. En op die spie duid je het punt r aan (willekeurig), en een beetje verder van het centrum verwijderd bevindt zich r+dr. dr is dus ook weer zeer klein.

De oppervlakte van dat afgebakend gebied (dus binnen de spie dq en tussen r en r+dr), wordt nu gegeven door r*dr*dq. Dit bekom je als je die spie beschouwt als rechthoekige driehoek en door de benadering dat de sinus van dq bijna gelijk is aan dq zelf. Deze beide benaderingen zijn toegestaan omdat die dr en dq toch maar 'infinitesimaal' zijn, dus inderdaad zeer klein.

Vandaar dat dV = dxdydz = rdrdqdz.

Als het niet duidelijk is, stuur je nog maar een mailtje.
Groeten,
Christophe.

Christophe
21-5-2003