WisFaq!

Halveringstijd

Ik heb een vraag in mijn boek en in mijn toets gehad. Maar zelfs met de antwoorden uit het boek weet ik niet hoe je er aan komt.

De opdracht:
Gegeven is de functie A(t)=15 e ^-t/2
met: t in jaren
A in grammen

a. bereken de halveringstijd.
b. Verander de functie in de vorm A(t)=a*(1/2)^t/b
met: t in jaren
A in grammen
Hoe groot zijn a en b dan?

Alvast bedankt,
Marlous

Marlous
19-5-2003

Antwoord

Even voor de duidelijkheid: ik lees jouw formule als:
A(t)=15·e^(-^t/₂).
Je wilt de halveringstijd weten.
Dat betekent dat je het tijdstip t wilt weten waarop
A(t)=¹/₂A(0)
Dat komt er op neer, dat e^(-^t/₂)=¹/₂
ofwel -^t/₂=ln(¹/₂), dus t=2·ln(2) (bedenk dat -ln(¹/₂) = ln(2)
De halveringstijd is dus 2·ln(2), ongeveer 1.386 jaar.
Merk ook op, dat het getal 15 geen enkele rol speelt.

Nu de tweede vraag:
Je moet het getal e zien te schrijven als (¹/₂)^x
dus:
e = (¹/₂)^x
ln(e) = ln((¹/₂)^x)
1 = x·ln(¹/₂) = -x·ln(2)
dus x = -1/ln(2)

A(t) = 15·e^(-^t/₂)
= 15·((¹/₂)^x)^(-^t/₂)
= 15·(¹/₂)^(x·(-^t/₂))
= 15·(¹/₂)^((-1/ln(2))·(-^t/₂))
= 15·(¹/₂)^(^t/_2·ln(2)))
waaruit volgt, dat a=15, en b=2·ln(2)

Komt dat je bekend voor? Die b is dus precies de halveringstijd.
groet,

Anneke
19-5-2003