WisFaq!

Kleinste gemene veelvoud

Beste WisFaq,

Dit zijn eigenlijk twee vragen.

1. Op mijn Grafische Rekenmachine staan bij elkaar de functies "gcd(" en "lcm(". Toevallig las ik dat dat eerste "greates common divisor" (Engels voor grootste gemene deler. betekent. De andere functie blijkt het kleinste gemene veelvoud op te leveren. Wat betekenen de letters?

2. Hoe bewijs ik deze stelling:
ggd(a, b) x kgv(a, b) = a x b

Erik Leppen
12-5-2003

Antwoord

1. lcm betekent 'lowest common multiple'.
2. Zij G = ggd(a,b)
Dan is
a = p.G
b = q.G
daarbij hebben de getallen p en q geen gemeenschappelijke delers (die zitten in G).
Zij nu v een willekeurig gemeenschappelijk veelvoud van a en b.
Dan is:
v = m.a en ook v = n.b
zodat ook v = m.pG en v = n.qG
We vinden m.p = n.q
Waaruit we vinden dat m.p deelbaar is door q.
Omdat p en q onderling ondeelbaar zijn, moet gelden m deelbaar door q.
Zodat m = r.q
v = ma = r.q.p.G
pqG is dus een deler van elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b.
pqG is een veelvoud van a en ook een veelvoud van b. Dus: pqG = kgv(a,b).
Zodat inderdaad:
ggd(a,b) . kgv(a,b) = G . pqG =pG . qG = a . b

dk
12-5-2003