WisFaq!

Het bepalen van een vergelijking van een vlak

Ik heb een opgave waarbij een vlak V door 3 punten gaat, namelijk: (-4,0,0), (0,2,0) en (0,0,3).

De vraag is hierbij om de vergelijking te bepalen van dit vlak. Er zijn 4 antwoorden mogelijk:
A) 4x - 2y - 3z = -16
B) 4x - 2y - 3z = 16
C) 3x - 6y - 4z = 12
D) 3x - 6y - 4z = -12

Door het invullen van de verschillende punten weet ik dat A of D de goede antwoorden zijn, maar voor de rest kom ik er niet uit.

Eelco
2-5-2003

Antwoord

Door het invullen blijft alleen D over als mogelijkheid hoor!

In het algemeen kan je een vergelijking voorop stellen, bijvoorbeeld ax + by + cz = d, en de gegeven punten invullen om zo een stelsel te krijgen in a,b,c en d.

Een vlak wordt bepaald door 3 punten dus we hebben zowiezo een vergelijking te weinig. Dat is ook logisch: als je a,b,c en d met eenzelfde getal vermenigvuldigt, beschrijf je nog steeds hetzelfde vlak, dus je voelt wel aan dat er voor a,b,c en d geen unieke oplossing bestaat.

Wat we wel kunnen doen is een van de coefficienten gelijk stellen aan 1. Los het bekomen stelsel van 3 vergelijkingen en 3 overige onbekenden dan op. Vind je geen oplossing dan is de coefficient die we herschaalden naar 1, eigenlijk gelijk aan nul en dus niet herschaalbaar, en hadden we een andere coefficient 1 moeten stellen. Doe dit en herhaal tot dit probleem zich niet meer stelt (en dat zal ooit gebeuren aangezien er in de vergelijking van elk vlak minstens 1 coefficient verschilt van 0).

Wat nog eenvoudiger is: als de punten die gegeven zijn, de snijpunten zijn met de assen [dus (k,0,0),(0,m,0) en (0,0,n) met k,m en n verschillend van 0], dan is de vergelijking van het vlak

x/k + y/m + z/n = 1

cl
2-5-2003