WisFaq!

bewijs de volgende recursieformule door middel van partiële integratie

hallo
wij moeten de recursieformule niet kennen en we hebben ze ook niet bekeken in de klas maar toch moeten we deze oefening maken:
de f(x) = xⁿ · (1-x)¹/2 · dx n element van N
de grenzen zijn 0 en 1
I(n) = de integrant van f(x) voor deze grenzen
en we moeten bewijzen dat:
I(n) = 2n/(2n+3)· I(n-1)
hierbij is I(n-1)= $\int{}$ x^n-1 · (1-x)¹/2 · dx

alvast bedankt
stijn

stijn
1-5-2003

Antwoord

We moeten dus min of meer de xⁿ omzetten in een x^n-1. Dat kunnen we doen door xⁿ af te leiden naar x. Voor het toepassen van partiele integratie, integreren we dus beter eerst (1-x)^1/2 zodat in een verdere stap de afgeleide van xⁿ zal verschijnen.

(Denk in wat volgt overal de integratiegrenzen 0 en 1 bij)

I_n
= $\int{}$xⁿ(1-x)^1/2dx
= -²/₃$\int{}$xⁿd[(1-x)^3/2]
= -²/₃{[xⁿ(1-x)^3/2]¹₀ - $\int{}$n x^n-1(1-x)^3/2dx}
= (2n/3)$\int{}$x^n-1(1-x)^3/2dx
= (2n/3)$\int{}$x^n-1(1-x)(1-x)^1/2dx
= (2n/3){$\int{}$x^n-1(1-x)^1/2dx - $\int{}$xⁿ(1-x)^1/2dx}

of dus

I_n = -(2n/3)[I_n-1-I_n]

Oplossen van deze relatie naar I_n geeft

I_n = (2n)/(2n+3) I_n-1

Samen met I₀ = 2/3 kan je nu I_n voor alle waarden van n bepalen.

cl
1-5-2003