WisFaq!

Asymptoot van een rationale funtie

Gegeven is volgende vergelijking

y= x-3+(1/(x-2))

Ik weet hoe je uit een homografische functie direct de asympoten kunt vinden nl x = -d/c en y = a/c in de formule (ax+b)/(cx+c)

maar wat moet je doen met het stuk
x-3 ????

bernard
28-4-2003

Antwoord

Deze functie heeft twee asymptoten, namelijk een verticale en een scheve asymptoot.
Hoe je dat ziet?
Wel, eerst de verticale asymptoot:
Het stukje 1/(x-2) van de functie zal 'exploderen' naarmate x dichter bij +2 komt.
Nadert x van de bovenkant naar 2, dan gaat 1/(x-2) naar
+¥, en nadert x van de onderkant naar 2 dan gaat 1/(x-2) naar -¥.
De rest van de functie (het stuk x-3) gedraagt zich fatsoenlijk rond x=2, dus je weet nu het gedrag van de gehele functie in de omgeving van x=2.

Nu de scheve asymptoot.
Stel x®¥ (of -¥)
de gehele functie gaat dan eveneens naar +¥ (-¥), DUS een horizontale asymptoot heeft ie niet.
Nu de scheve asymptoot.
Aan de functie kun je zien dat het breuk-gedeelte (1/x-2) verwaarloosbaar wordt ten opzichte van de rest van de functie (x-3).
Vul maar eens x=1000 in. De breuk gaat naar nul, en het gedrag van de functie wordt gaandeweg meer bepaald door het eerste stuk, x-3.
Vandaar dat de functie steeds meer op de rechte x-3 gaat lijken.
Dit is de vergelijking van de scheve asymptoot.

groeten,
martijn

mg
28-4-2003