WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Statistiek

Auto covariantie

Bron: Johnston,Dinardo Econometric methods, 4e editie , pag.208

Stel een stationaire AR(1) times serie (lag 1)
x(t) = alpha * x(t-1) + e(t) met x(t) = y(t) - mu

Ik vermenigvuldig beide zijden met x(t-2) en neem de expectations.

E[x(t)*x(t-2)] = alpha E[x(t-1)*x(t-2)] + E[(e(t)*x(t-2)] =

covariantie[x(t),x(t-2)] = alpha * covariantie[(x(t-1),x(t-2)]
Oftewel: gamma(2) = alpha * gamma(1)

Is dit wel correct, vraag ik mij af?

gamma(1) is toch covariantie([x(t),x(t-1)] en NIET covariantie[(x(t-1),x(t-2)]. Bij covariantie[(x(t-1),x(t-2)] is immers het aantal observaties 1 minder dan covariantie([x(t),x(t-1)].

Ik neem als voorbeeld de observaties x(5) = {1,4,5,7,4) met mu = gemiddelde = 4,2.
Dus x(4) = {1,4,5,7} en x(3) = {1,4,5}

cov[x(5),x(4)] is dan niet gelijk aan cov[x(4),x(3)]

dus kan covariantie[x(5),x(3)] toch niet gelijk zijn aan alpha * covariantie[x(5),x(4)] ? Maw gamma(2) kan dan niet gelijk zijn aan alpha * gamma(1).

Misschien dat u het ziet.

Alvast dank.

Mvg, Jakob.
jakob
1-4-2024

Antwoord

Ik ken het boek niet, en onze bibliotheek heeft het ook niet maar aan de definitie van de $x(t)$ te zien is $x(t)$ altijd een getal en geen verzameling waarnemingen. Dus je voorbeeld laat iets anders zien dan je denkt.
Voor elke $t$ heeft de verzameling waarden van $x(t)$ een kansverdeling die aangeeft hoe die waarden verdeeld zijn, genomen over alle mogelijke tijdreeksen die door je formule gegenereerd worden.

Verder, maar dit is koffiedikkijken omdat ik het boek niet heb, krijg ik de indruk dat eerder in het boek is afgeleid dat voor elke $t$ het paar kansvariabelen $\langle (x(t), x(t-1)\rangle$ dezelfde covariantie hebben: die indruk krijg ik omdat die $\gamma(1)$ wordt genoemd, onafhankelijk van $t$. En dan wordt nu afgeleid dat hetzelfde geldt voor de paren $\langle x(t),x(t-2)\rangle$, dat geeft weer een constante $\gamma(2)$ en de relatie $\gamma(2)=\alpha\cdot\gamma(1)$.

Zoek ook maar eens op wat `stationair' hier betekent: wellicht zitten daar aannamen over die kansverdelingen van de $x(t)$ in.
kphart
2-4-2024

Histogram en staafdiagram

Geachte,
Mag ik in geval van een staafdiagram op de y-as de gemiddelden van metingen weergeven?
Bij voorbaat heel veel dank voor het antwoord.
Met vriendelijke groet,
Paul
Histogram en staafdiagram

Paul
17-4-2024

Antwoord

Bij een staafdiagram vergelijkt men alleen de hoogte van de verschillende staafjes. Als je gemiddelden wilt vergelijken is dat geen probleem. Lijkt me prima.
WvR
17-4-2024

Waneer is frequentiepolygoon normaal verdeeld?

Wanneer is een frequentie polygoon normaal verdeeld bij een relatieve cumulatieve frequentie?
Is dat als de lijn in de diagram recht is?
link naar wiskundeleraar

nadine
17-4-2024

Antwoord

Bij voorkeur gebruik je meer meetwaarden (klassenmiddens) dan het voorbeeld waarnaar je verwijst. Bij een normaal verdeelde variabele geeft een procentueel cumulatief frequentiepolygoon alleen een rechte lijn wanneer je die grafiek op normaal waarschijnlijksheidspapier tekent. Dat moet je dan maar net hebben liggen :-)

Met vriendelijke groet
JaDeX
Zie Dit lees je hierover op wiskundeleraar

jadex
17-4-2024

Histogram en staafdiagram

Geachte,
Hartelijk dank voor het antwoord. Geldt hetzelfde voor een kolomdiagram? Dus mag ik in geval van een kolomdiagram op de y-as de gemiddelden van metingen weergeven?
Bij voorbaat heel veel dank voor het antwoord.
Met vriendelijke groet,
Paul
Histogram en staafdiagram

Paul
17-4-2024

Antwoord

In het Nederlands onderwijs maken we, volgens mij, geen onderscheid tussen kolom- en staafdiagrammen, dus ook hier zijn gemiddelden vergelijken prima.

Op onderstaande overzicht wordt wel onderscheid gemaakt tussen een staafdiagram en een kolomdiagram. Dat kan ook...
Zie Grafieken - soorten en toepassingen

WvR
17-4-2024

Waarom onafhankelijk?

Stel X=X1+x2+...+ Xn met identieke verdeling (identieke gemiddelde µ en variantie σ²).
Volgens CLS is var(X) = var(X1 + … + Xn) = σ² + … + σ² = nσ².
Maar langs de andere kant is var(X1 + … + Xn) = var(nX) = n²var(X).
Bijkbaar is dus var(X1 + … + Xn) niet gelijk aan var(nX)
Waarom?
Bedankt

raf
18-4-2024

Antwoord

Bij $nX$ neem je als het ware één waarneming en die vermenigvuldig je met $n$.
Bij $X_1+\cdots+X_n$ neem je $n$ waarnemingen en die tel je op. Dat zijn twee totaal verschillende experimenten.
kphart
18-4-2024

Re: Waarom onafhankelijk?

Bedankt, maar nu ik er over nadenk, is het niet gewoon omdat nX = n(X1+x2+...+ Xn) en dus uiteraard niet gelijk is aan X1+x2+...+ Xn?
raf
20-4-2024

Antwoord

Nee, nog steeds niet: links staat één experiment, rechts staat de som van $n$ verschillende experimenten. En je doet daar ook nog verschillende dingen mee.

Links: je gooit één keer met een dobbelsteen en vermenigvuldigt de uitkomst met $n$.
Verwachting: $n\cdot3\frac12$.

Rechts: je gooit $n$ keer met een dobbelsteen en vermenigvuldigt de som van de uitkomsten met $n$. Verwachting: $n^2\cdot3\frac12$.
kphart
20-4-2024

Poissonverdeling

Hallo

Poissonverdeling wordt bijvoorbeeld gebruikt voor het aantal wagens te modelleren per dag in een tunnel. Ik lees overal dat de voorwaarden moeten zijn: zeldzame gebeurtenissen, de gebeurtenissen zijn willekeurig en onafhankelijk van elkaar en de gebeurtenissen zijn gelijkmatig over de tijd (bv over de uren van de dag).

Moet er ook geen bijkomende voorwaarde, dat het gemiddelde λ constant moet zijn over alle perioden (dagen in dit geval)?

Want ik kan aannemen dat het aantal wagens verschillend zal zijn op zondag dan in de weekdagen. Dan is volgens mij Poisson niet meer geschikt.
Bedankt.
raf
23-4-2024

Antwoord

Inderdaad, dat zou er bij moeten staan.
In de praktijk heeft men misschien wel een aparte parameter voor elke weekdag.

Maar in oefensommen (die niet realistisch hoeven te zijn) mag men best doen of alle dagen hetzelfde zijn.
kphart
24-4-2024

Likert statistisch interpreteren

Hoi,
ik heb voor mijn theses een enquete uitgevoerd met stellingen waarbij de antwoorden steeds "helemaal niet akkoord" "niet akkoord" "neutraal" "akkoord" "helemaal akkoord" zijn. Voor de analyse van de resultaten wil ik nagaan of de antwoorden die gegeven zijn significant zijn of per toeval zo verdeeld zijn. Welke statistische toets mag ik hierop toepassen?
katrij
26-4-2024

Antwoord

Dat hangt voor een groot deel af van wat je eigenlijk wilt onderzoeken.
Hoeveel groepen wil(de) je vergelijken? En wat vind je significant?

In feite ben je nu al te laat; dit soort beslissingen moet je vantevoren nemen en het onderzoek pas uitvoeren als je weet hoe je gaat analyseren en wat je criteria voor significantie zijn.

Ik zou op de universiteit bij de wiskundefadeling langs gaan en daar met een statisticus praten om te zien wat er met je gegevens te doen.
kphart
26-4-2024

Picktijden

Ik heb een dataset met picktijden van pallets in een magazijn. deze tijden staan in minuten. zodra ik deze in een grafiek weergeef lijkt het sterk negatief exponentieel verdeeld te zijn. Alleen als ik een Chi kwadraat test uitvoer of een KS test komt er niet uit dat het ook negatief exponentieel is.

Nu weet ik niet wat ik hiermee moet doen. want moet kunnen zeggen wat het dan wel is maar de normale verdeling is het niet, ook geen Poisson…
Ian
29-4-2024

Antwoord

Ik zou voor zoiets een programma gebruiken als CurveExpert. Je kunt het downloaden via:

Je kunt data invoeren en het programmaa laten zoeken naar de best passende curve. Er is een keuze uit 60 verschillende mogelijkheden, dus keus genoeg...

"CurveExpert Basic was designed to be easy-to-use but powerful, so that all users can obtain a model for their data quickly and easily. XY data can be modeled using a toolbox of linear regression models or nonlinear regression models."

Is dat een idee?
Zie CurveExpert Basic

WvR
2-5-2024

Aantonen van onvertekende schatter

Er is een oefening, zie bijlage, waarbij ik vastloop. Dit is de eerste vraag waar ik moet aantonen dat 2X een onvertekende scahtter is. Ik weet om dit aan te tonen dat E(2X) = $\theta $ . Maar weet niet wat $\theta $ is in dit geval (misschien $\alpha $ ?) en weet ook niet hoe F_X(x) hierbij helpt. De grootste verwarring is waarschijnlijk hoe ik moet omgaan met die minimum functie.
Alvast bedankt.
Jacob
4-5-2024

Antwoord

Je moet laten zien dat $E(2X)=\frac1\alpha$, ofwel dat $E(2X)=E(Y)$.

Je kunt verder $F_X$ uitdrukken in $F_Y$:
$$P(X\le x) =1-P(X > x) = 1-P(Y_1 > x \text{ en } Y_2 > x)
$$wegens de onafhankelijkheid van $Y_1$ en $Y_2$ staat daar $1-P(Y_1 > x)\cdot P(Y_2 > x)$ en wegens de gelijkverdeeldheid komt er
$$F_X(x) = 1-\bigl(1-P(Y\le x)\bigr)^2 = 2F_Y(x)-F_Y(x)^2
$$en nu de formule in je boek opzoeken die je de verwachting laat uitrekenen met behulp van $F_X$. NB $F_{2X}(x)=F_X(\frac12x)$.
kphart
4-5-2024