WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Kettingregel

Hallo,
Ik snap niet hoe de kettingregel (primitiveren) toegepast moet worden bij ingewikkeldere functies, welk deel is dan zeg maar het 'hartje' waarvan je de afgeleide door 1 deelt? Bijvoorbeeld in de vorm van f(x)=a·x³·e^b·x²
Lex
6-1-2024

Antwoord

De kettingregel gaat over differentiëren, maar je noemt primitiveren. Bedoel je misschien de substitutieregel? En als je iets door $1$ deelt gebeurt er niets, dus ik vermoed dat je daar ook wat anders bedoelt. En `hartje' is geen algemeen bekende term; is dat iets wat je docent gebruikt? Wat bedoelt die daarmee?

Maar goed, als je je functie wil primitiveren moet je er even goed naar kijken. Ik zou de exponent in $e^{bx^2}$ willen vervangen door een enkele variabele $u$.
Dus: we proberen $u=bx^2$, dan geldt $\mathrm{d}u=2bx\,\mathrm{d}x$. Dit kun je in $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ invullen:
$$\int a\cdot x^3\cdot e^{bx^2}\,\mathrm{d}x=\int a\cdot x^2\cdot e^{bx^2}\cdot x\,\mathrm{d}x =\int a\cdot\frac ub\cdot e^u\cdot\frac1{2b}\,\mathrm{d}u
$$Je moet dan dus
$$\frac a{2b^2}\int u\cdot e^u\,\mathrm{d}u
$$doen.

Dat kan door goed kijken en even proberen: de afgeleide van $ue^u$ zelf is $ue^u+e^u$, dus de afgeleide van $ue^u-e^u=e^u(u-1)$ is $ue^u+e^u-e^u=ue^u$. Je kunt ook partieel integreren.

Hoe dan ook, er komt
$$\frac a{2b^2}e^u(u-1)+c = \frac a{2b^2}e^{bx^2}(bx^2-1) + c
$$als primitieve van $f(x)$.
kphart
7-1-2024

Re: Kettingregel

Heel erg bedankt! Mijn docenten gebruikt iets wat ze ook wel de kettingregel voor primitiveren noemen. Bij differentieren is het afgeleide functie 1 · functie 2 ·afgeleide functie 2

Bij primitiveren gebruiken ze dan primitieve functie 1 ·functie 2 ·1 gedeeld door afgeleide functie 2 (Vorige keer per ongeluk /1 ipv 1/ opgeschreven)

Dan is functie 2 het 'hartje' wat je eerst gwn laat staan en daarna 1 door deelt Maar ik snap dus nooit wat dan telt als functie 1 en wat als functie 2

Maar uw methode helpt!
Lex
7-1-2024

Antwoord

Zo te zien is in dit geval $bx^2$, of alleen $x^2$, die mysterieuze functie 2. Ik vind dit soort ezelsbruggetjes zelf te ingewikkeld. Ik kijk liever gewoon goed naar de functie en probeer te zien waar afgeleiden van kleine stukjes zitten zodat ik die kleine stukjes door een variabele kan vervangen. Hier ligt $u=bx^2$ wel erg voor de hand omdat die in de $e$-macht zit.

Het algemene idee is de kettingregel achterstevoren te doen:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\bigl(g(x)\bigr) = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
$$en dus
$$\int f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x= f\bigl(g(x)\bigr)+c
$$
kphart
8-1-2024

Inhoud berekenen

x=2+λ, y=1+2λ, met λ ϵ [-2, 1] inhoud berekenen
Nico
17-3-2024

Antwoord

De inhoud is gelijk aan nul, want je beschrijft een lijnstukje in het platte vlak.
kphart
17-3-2024

Parametrisatie voor lijnintegraal

Beste

In de bijlage ziet u de vraag waar ik moeilijkheden mee heb. Deze lijkt mij het makkelijkst oplosbaar door de formule $\smallint $ f(x,y,z)ds = $\smallint $ f(r(t))|dr/dt|dt. Maar hierbij moet ik deze gevraagde kromme parametriseren. Ik weet niet direct hoe ik hieraan moet beginnen. Ik kwam r(t) = ti + tj - tk uit maar dit komt niet overeen met het punt (3, 1, -2). Dus ik weet niet hoe ik verder moet.
Alvast bedankt.

Mvg, Jacob
Jacob
26-3-2024

Antwoord

Probeer het eens met
$r(t)=3t\cdot\mathrm{i}+t\cdot\mathrm{j}-2t\cdot\mathrm{k}$ waarbij $0\le t\le1$.
Die moet het wel zijn want de oorsprong en $(3,1,-2)$ liggen op de snijlijn van de vlakken dus het verbindende kijnstuk ook.
kphart
26-3-2024

Oefening ijkingstoets ivm integralen

Beste

Kan iemand me helpen met het oplossen van volgend vraagstuk?

Over een continue functie ƒ : R → R is gegeven dat
- De integraal van 0 tot 1 van f(x) 8 is
- De integraal van 1 tot 2 van f(x) 2 is
- De integraal van 2 tot 4 van f(x) 4 is

Gevraagd:
Toon aan dat de integraal van 0 tot 2 van f(2x) gelijk aan 7 is.

Mvg
Stef
1-4-2024

Antwoord

Gebruik de substitutieregel om aan te tonen dat
$$
\int_0^2f(2x)\,\mathrm{d}x = \frac12\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x
$$
kphart
1-4-2024

Sinusgrafiek wentelen

Geachte,
Graag hulp bij het volgende probleem...
De grafiek van de sinusgrafiek met domein [
0,] wordt gewenteld om de lijn y=1
Wat is de inhoud van het omwentelingslichaam?
Ik heb g(x)= sin(x) - 1 gewenteld om de x-as in 2 delen: eerst op het domein [0, $\pi$ en dan op [ $\pi$ ,2 $\pi$ ]
Deel 1: integraal van (sin(x) -1)^...2= ¹/₂ -¹/₂cos(2x)- 2sin(x) ×1
inhoud = $\pi$ - uitkomst integraal
Deel 2: uitkomst integraal - $\pi$ (cilindertje)
Dan kom ik niet aan de uitkomst van 3 $\pi$ ^..2. volgens het antwoordblad... Wat doe ik fout? Mijn antwoord = 8 $\pi$ ???

Dank voor uw hulp!
Katrij
19-4-2024

Antwoord

De extra $\pi$ komt uit de formule:
$$\pi\int_0^{2\pi}(\sin(x) - 1)^2\,\mathrm{d}x
$$de integraal kan gewoon in één keer. Maar in je uitwerking van het kwadraat staat $2\sin(x) \times 1$, dat moet $2\in(x)+1$ zijn. Je krijgt dan
$$\pi\int_0^{2\pi}\frac12-\frac12\cos(2x)-2\sin(x)+1\,\mathrm{d}x
$$en daar komt inderdaad $3\pi^2$ uit.
kphart
19-4-2024

Gaussian integral

Hallo,

Neem de standaard gaussian integraal $\smallint $ e^-x² (Met grenzen -oneindig tot plus oneindig).

Dit is de standaard kromme van de normale verdeling waarbij we met de integraal de oppervlakte berekenen onder de grafiek (boven de x-as).

Vervolgens passen we de 'trucjes' toe en komen we bij de dubbele integraal met een r van 0 tot oneindig en de theta van 0 tot 2$\pi$. Dit laatste was bij mijn studenten wat verwarrend aangezien als je e^-x² bekijkt, dit een grafiek is die eigenlijk alleen zich boven de x-as bevindt en dus zou lopen van 0 tot pi.

Nu ben ik op zoek naar een heldere uitleg in leerlingentaal (v5/v6 wd) en ik ben met de volgende uitleg gekomen, ik hoor graag of wat ik hier beweer geen fouten bevat.

We hebben de integraal van e^-x². Vervolgens kwadrateren we deze (en pakken we van het antwoord weer de wortel). Met het 'trucje' komen we bij de integraal van e^-x²+y² waardoor we eigenlijk effectief van x en y, naar een x,y,z as gegaan zijn; we zijn van 2d naar 3d gegaan, van oppervlakte naar inhoud. Als je de grafiek in 3d plot van z=e^-x²+y² willen we eigenlijk de totale inhoud onder deze figuur, en daar vervolgens de wortel van nemen; dat staat dan gelijk aan de oppervlakte in 2d onder de grafiek van e^-x².

Als we van 'bovenaf' op de xy-as kijken, zien we dat de r moet lopen van 0 naar oneindig, en dat de theta dus een geheel rondje moet maken (0 tot 2$\pi$) (en niet 0 tot pi).

Om de totale inhoud onder e^-x²+y² te berekenen, gebruiken we de dubbele integraal. Als je nu van 'bovenaf' (dus in het verlengde van de z-as; op de xy-as kijkt), zie je dat we
KS622
11-5-2024

Antwoord

Dit voorbeeld komt in de regel aan het eind van een hoofdstuk over gebiedsintegralen als toepassing van alles wat daarvoor behandeld is.
De definitie van de integraal van een functie van twee variabelen, met interpretatie van volume als de functie niet-negatief is.
De stelling dat de integraal over een rechthoek door herhaald integreren berekend kan worden
De opmerking dat als $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$ je het product van de afzonderlijke integralen $\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x$ en $\int_c^dh(y)\,\mathrm{d}y$ krijgt
Een stelling die garandeert dat dit ook opgaat voor convergente oneigenlijke integralen.
De substitutieformule voor overgang op poolcoördinaten (waar komt die extra $r$ vandaan?).
Ik kan me voorstellen dat de studenten dit niet allemaal in één keer kunnen behappen. In een gemiddelde Calculus-cursus duurt dit wel een week of twee.

De uitleg is op zich niet fout maar het wapperen met de handen verbloemt een hele gedachtenwereld en ik vermoed dat de studenten het de volgende dag alweer vergeten zullen zijn.
kphart
12-5-2024