WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrie

Lengte en hoek van schuine raaklijn aan twee cirkels

Lengte en hoek van schuine raaklijn, tangent aan 2 niet rakende cirkels van verschillende diameter.
Wat is de formule om dit te berekenen?
bert a
11-3-2024

Antwoord

Hallo Bert,

Je vraag is niet helemaal goed doorgekomen, je hebt geprobeerd de gehele vraag in de titel in te vullen. Dat gaat niet goed ....

Ik vermoed dat je hoek S in onderstaande figuur wilt berekenen, de hoek tussen de raaklijn aan twee cirkels en de lijn door de middelpunten van de cirkels:

Dat kan als volgt:

De kleine cirkel heeft straal r, de grote cirkel heeft straal R. De afstand tussen de middelpunten M en N noem ik d. P en Q zijn de raakpunten van de raaklijn aan de cirkels.
De driehoeken SMP en SNQ zijn gelijkvormig. Dan geldt:

^x/_(x+d) = ^r/_R

Dus:

x·R = x·r+d·r
x(R-r) = d·r
x = ^d·r/_(R-r)

in driehoek SMP zie je:

sin(hoek S) = ^r/_x
sin(hoek S) = ^r/_{^d·r/_(R-r)}
sin(hoek S) = ^(R-r)/_d

dus:

Hoek S = arcsin(^(R-r)/_d)

Als je iets anders zocht, moet je dat maar even laten weten.
GHvD
12-3-2024

Vergelijking van een cirkel

Geef de vergelijking van de cirkel met middelpunt (3,2) en een punt P(6,6)
Zoe
18-3-2024

Antwoord

Gebruik de algemene vergelijking voor de cirkel. Bereken de afstand van middelpunt en $P$ en stel vervolgens de vergelijking op. Als het goed is kom je dan uit op:

$
\left( {x - 3} \right)^2 + \left( {y - 2} \right)^2 = 25
$

Hopelijk helpt dat.
4. cirkels, raaklijnen en afstanden

WvR
18-3-2024

Tangens

Wanneer moet je die -1 gebruiken bij het uitrekenen van Cosinus Sinus of Tangens? Of moet dat altijd bij een hoek berekenen
Fara E
21-3-2024

Antwoord

Op Wanneer gebruik je tangens en shift-tangens? staat wat je moet doen. Tan geeft de tangens bij een 'hoek' en tan^-1 geeft de 'hoek' bij een gegeven tangens.

Helpt dat?

Meer tips en truuks op Rekenen met sinus, cosinus en tangens
WvR
21-3-2024

Vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen

Ik heb een vraag over de volgende oefeningen:
a) sin⁴x-cos⁴x/sin²x-cos²x
b) sin x - sin(x)cos²(x)

Ik begrijp niet hoe ik deze kan vereenvoudigen.

Alvast bedankt voor de hulp!
Y
19-4-2024

Antwoord

Gebruik daarbij dat
$
\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1
$
$
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
$
Je krijgt dan:

a.
$
\eqalign{
& \frac{{\sin ^4 x - \cos ^4 x}}
{{\sin ^2 x - \cos ^2 x}} = \cr
& \frac{{\left( {\sin ^2 x + \cos ^2 x} \right)\left( {\sin ^2 x - \cos ^2 x} \right)}}
{{\sin ^2 x - \cos ^2 x}} = \cr
& \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \cr}
$

b.
$
\eqalign{
& \sin x - \sin x\cos ^2 x = \cr
& \sin x\left( {1 - \cos ^2 x} \right) = \cr
& \sin x \cdot \sin ^2 x = \cr
& \sin ^3 x \cr}
$

Zou dat lukken?
WvR
19-4-2024

Sinus en cosinus van een hoek bepalen

Ik snap niet hoe je de sinus en cosinus van een getal bepaald.

Laura
25-4-2024

Antwoord

Hallo Laura,

Voor deze vraag hoef je de sinus en cosinus van 15° niet daadwerkelijk uit te rekenen. Het is voldoende om in te zien dat voor hoeken tussen 0° en 90° geldt:
Bij een grotere hoek hoort een grotere sinus, en
Bij een grotere hoek hoort een kleinere cosinus
. Je kunt dit goed aflezen in de 'goniometrische eenheidscirkel'. Hoe je dit doet, zie je in het eerste deel van het filmpje Goniometrische getallen - Deel 1: Definitie van sinus, cosinus en tangens.

Om de sinus en cosinus te vinden van hoeken groter dan 90° gebruik je de eenheidscirkel om te beredeneren welke hoek uit het eerste kwadrant dezelfede sinus of cosinus heeft, eventueel met een min-teken. Hoe dit in zijn werk gaat, zie je in Goniometrische getallen - Deel 3: Sinus, cosinus en tangens van hoeken in kwadranten II, III, IV.

Probeer aan de hand van de uitleg in deze filmpjes de uitwerking van je opgave te volgen. Kom je er niet uit, laat dan maar weten waar je vastloopt.
GHvD
26-4-2024

Bewegingsvergelijkingen met goniometrische formules

Bij de vraag bereken in graden in één decimaal de hoek alfa die de baan in punt D ([¹/₂ $\sqrt{}$ 3 ; ¹/₂) maakt met de lijn y= ¹/₂

Ik weet dan niet wat je met de lijn moet doen y= ¹/₂

Ceylin
5-5-2024

Antwoord

De het punt $D$ ligt op de lijn $y=\frac12$ en de hoek tussen de baan en die lijn wordt gevraagd. De oplossing gebruikt de raakvector $\vec v$ aan de baan in $D$ en de richtingsvector $\vec r$ van de horizontale lijn. En de hoek wordt bepaalt via het inwendig product van die twee vectoren.

Zie het plaatje; omdat de lijn horizontaal is de tangens van $\alpha$ gelijk aan $\frac12\sqrt3$ (quotiënt van $y$- en $x$-coöordinaten van $\vec v$). Dat geeft hetzelfde antwoord.
kphart
5-5-2024

Re: Bewegingsvergelijkingen met goniometrische formules

Maar wat vul je precies in de richtingsvector?

Ceylin
5-5-2024

Antwoord

Niets.

De vector $\vec r$ is gewoon gegeven als de richtingsvector van de lijn $y=\frac12$. Van die lijn zijn, zo te zien, geen bewegingsvergelijkingen gegeven, en er hoort daarom ook geen tijdstip bij om het punt $D$ te bepalen.

Je zou bewegingsvergelijkingen kunnen geven: $x(t)=t$ en $y(t)=\frac12$, en dan geldt $x'(t)=1$ en $y'(t)=0$; dus welke $t$ je ook invult er komt altijd $\binom10$ als raakvector. Dan kun je net zo goed geen $t$ invullen.
kphart
6-5-2024

Re: Wat is een radiaal?

Het voorlaatste woord 'kilometers' moet natuurlijk kilometer\uur zijn; het is immers een snelheid.
Mart
12-5-2024

Antwoord

Het ging hier om afstandsgetallen, dus bijvoorbeeld zoiets als:

Ik denk dat het zo dus wel in order is. Het idee is duidelijk!
WvR
13-5-2024