Hoe kan je bewijzen dat de wortel uit 3 een irrationaal getal is?Geertje Hoving
29-3-2002
Stel √3=p/q (p,q $\in$ N) waarbij de breuk niet verder vereenvoudigd kan worden.
√3=p/q
3=p2/q2
3q2=p2 (1)
Hieruit volgt dat p2 een drievoud is... maar een kwadraat is alleen drievoud als p ook een drievoud is. Dus p is te schrijven als 3·a (met a=p/3). Dan is p2=9a2 en dan volgt uit (1):
3q2=9a2
q2=3a2
Dus q2 is ook een drievoud... en q dus ook. Maar dan hadden we de breuk p/q kunnen vereenvoudigen, maar dat is in strijd met de aanname! Dus √3 kan je niet schrijven als een breuk, dus √3 is irrationaal!
WvR
29-3-2002
#2334 - Getallen - Leerling bovenbouw havo-vwo