|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Vectorruimte
Beste
Ik ken de definitie van de som van een reeks en weet wat die moet voorstellen. Maar ik heb nog steeds moeite met het bepalen van deze tot in het mogelijke. Bijvoorbeeld de opgave (8b) in de bijlage. Voor telescopische rijen is hier wel een manier voor, maar dit is niet zo eentje neem ik aan. Weet u hoe ik hiermee op weg moet?
Alvast bedankt.
Antwoord
Je kunt hem overschatten met twee in elkaar geschoven telescoopreeksen.
Zet de eerste term, $\frac12$, even apart.
Voor $n\ge2$ geldt
$$\frac1{n^2+1} < \frac1{n^2-1}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)
$$De even termen geven
$$\sum_{n=1}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right) = \frac12
$$(een oude bekende). De oneven termen geven
$$\sum_{n=2}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-2}-\frac1{2n}\right) = \frac14
$$De gevraagde som is zeker positief, en met onze afschattingen zien we dat hij kleiner is dan $\frac12+\frac12+\frac14$ en dat is weer kleiner dan $\frac\pi2$.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
