WisFaq!

Driehoeksmeetkunde

Beste, ik snap niet hoe je vragen zoals dit moet beginnen berekenen. Ik begin eerst met het schetsen van de gegevens. Er wordt Phythagoras toegepast, maar hoe weet je wanneer je dit moet toepassen?

En als je kijkt naar de oplossing zie je dat ze een punt A en een punt B hebben getekend, waardoor er een tweede driehoek verschijnt. Waarom wordt dit gedaan en moet dit altijd?



Kan iemand deze vragen beantwoorden en eventueel ook een oplossing geven waar ik makkelijker aan uit kan gaan of even uitleggen hoe zij dit oplossen.

Alvast hartelijk bedankt.

Laura
22-4-2024

Antwoord

Hallo Laura,

Voor het oplossen van meetkundeproblemen bestaan helaas geen standaard 'recepten'. Ik kan dus niet aangeven in welke situaties je Pythagoras 'moet' toepassen, of in welk geval je welke hulplijn 'moet' tekenen. Wel kan ik je een aantal tips geven over veel voorkomende handigheidjes:

• Maak altijd een schets van de situatie (dat had je zelf al gedaan).
  In dit geval teken je dus in ieder geval de driehoek OPQ en de ingeschreven cirkel uit de gegevens.
  
• Geef bij een cirkel het middelpunt aan.
  Je hebt het middelpunt niet echt altijd nodig, maar vaak is dit wel handig, dus maak hier een gewoonte van. In dit geval is dit punt A (de keuze voor de letter is willekeurig).
  
• Zet alle gegevens in je schets en alles wat je hier direct uit kunt afleiden.
  In dit geval: geef aan dat de afstand van A tot zowel de x-as als y-as gelijk is aan 1, dit volgt uit het gegeven dat de straal van de cirkel 1 is.
  
• Zoek geschikte hulplijnen. Bij cirkels zijn dit vaak lijnen van het middelpunt naar punten op de cirkel (snijpunten, raaklijnen enz.). Deze lijnstukken zijn allemaal gelijk aan de straal, dit geeft vaak aanknopingspunten.
  In dit geval: teken AR (van middelpunt naar raakpunt x-as), eventueel ook een lijnstuk van middelpunt naar raakpunt y-as (in dit geval niet nodig, maar dat weet je niet van tevoren), en AB (van middelpunt naar raakpunt op PQ).
  
• Zet alle bekende afmetingen erbij: OR=1, AR=1, AB=1, OP=a, OQ=a.
  
• Zoek ook gelijke hoeken en gelijke lijnstukken. Markeer gelijke zijden met een tekentje (bv twee schuine streepjes door de lijnstukken: //, en zet stipjes of kruisjes in gelijke hoeken).
  In dit geval: BQ=BP, en hoek P=hoek Q. Al snel zie je dat deze hoeken 45° zijn: zet dit in je schets.
  

Als je alle gegevens hebt verwerkt, en alles hebt genoteerd wat hier direct uit volgt, probeer dan te bedenken wat je nog nodig hebt om de vraag te beantwoorden. Je werkt dus van achteren naar voren.
In dit geval moet je de oppervlakte van een driehoek berekenen: opp=basis $\times $ hoogte/2. Ofwel: als je nu maar een basis en een hoogte kunt vinden, dan kan je het vraagstuk oplossen. Bekijk dus wat je nodig hebt om een basis en een hoogte te kunnen berekenen. Zo redeneer je steeds verder terug.
In dit geval:

• Als je nu maar zijden OP (basis) en OQ (hoogte) zou kunnen berekenen, dan ben je er wel. Helaas weet je alleen dat deze zijden gelijk zijn aan a, dit loopt vast.
  
• Andere mogelijkheid: teken hoogtelijn OB. Als je nu maar de zijden PQ (basis) en OB (hoogte) zou kunnen berekenen, dan ben je er wel. Van hoogtelijn OB weet je al: AB=1. Kan je OA berekenen? OA is de schuine zijde van rechthoekige driehoek ORA. Je kent twee zijden (OR=AR=1), dus de derde zijde is te berekenen met Pythagoras.
  Zo kom je op OA= $\sqrt{}$ 2, en OB=1+ $\sqrt{}$ 2.
  
• Nu nog PQ. Dit gaat niet in één keer, maar als je nu maar BP zou kunnen berekenen, dan weet je PQ wel (want PQ=2PB). Bekijk of BP een zijde is van een driehoek waar je meer van weet. In dit geval: BP is een zijde van gelijkbenige driehoek OPB, dus BP=OB=1+ $\sqrt{}$ 2.
  Conclusie: PQ=2(1+ $\sqrt{}$ 2).
  
• Je hebt nu alle benodigde gegevens om weer 'vooruit' te rekenen en de gevraagde oppervlakte te berekenen.

Nog even samengevat:

• Bij cirkels: teken stralen van het middelpunt naar 'bijzondere' punten op de cirkel, deze lijnstukken zijn allemaal gelijk aan de straal.
  
• Zie je een rechthoekige driehoek waarvan twee zijden bekend zijn: bereken de derde hoek met Pythagoras.
  
• Teken hulplijnen, liefst horizontaal, verticaal of eventueel loodrecht op ander lijnstukken, om zo rechthoekige driehoeken te krijgen waarin veel te berekenen valt.

Tot slot: wanneer je een vraag niet hebt kunnen oplossen, bestudeer dan de uitwerking en teken/schrijf zelf weer mee tijdens dit bestuderen, zo ervaar je veel beter hoe je naar een oplossing toe werkt dan wanneer je alleen maar leest. Iets wat je zelf schrijft/tekent, onthou je veel beter dan iets wat je leest.

Hopelijk helpen deze tips, en verder: veel oefenen, dan krijg je handigheid om de juiste wiskundige 'gereedschappen' te kiezen.

GHvD
23-4-2024