WisFaq!

Afbeeldingsmatrices

Hallo, ik had een vraag gesteld over matrices, maar geen duidelijk antwoord gekregen, mijn vragen waren:

• Hoe is aan een matrix te zien of een afbeelding een spiegeling is?
• Heeft een matrix van een draaiing ook een typische eigenschap, zoja welke?
• Welke eigenschap moet een matrix hebben om de groote van hoeken gelijk te houden?

Van de matrices heb ik al wel afbeeldingen, maar hoe ze je nu van een matrix zelf wat voor een eigenschap het heeft, dus of je eraan kan zien of het een spiegeling, draaiing, elliptische afbeeldingen is.....(mischien heeft het te maken met positieve en negatieve getallen en dezelfde getallen)

Remy
19-11-2003

Antwoord

Stel L is een lijn door O die een hoek van $\phi$ graden maakt met de positieve x₁-as. Een spiegeling in L heeft dan als afbeeldingsmatrix:

$
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\cos (2\phi )} & {\sin (2\phi )} \\
{\sin (2\phi )} & { - \cos (2\phi )} \\
\end{array}} \right]
$

Een rotatie om O over $\phi$ graden heeft als afbeeldingsmatrix:

$
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\cos (\phi )} & { - \sin (\phi )} \\
{\sin (\phi )} & {\cos (\phi )} \\
\end{array}} \right]
$

Stel de matrix A van een afbeelding heeft de vorm:

$
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{a_1 } & {b_1 } \\
{a_2 } & {b_2 } \\
\end{array}} \right]
$

Ga nu na dat bovenstaande afbeeldingen beide voldoen aan
a₁b₁+a₂b₂=0 $
\Rightarrow
$ √(a₁²+a₂²)=√(b₁²+b₂²)=1.

Afbeeldingen die hieraan voldoen worden orthogonaal genoemd.
Het zijn zogenaamde congruentieafbeeldingen en laten hoeken en lengtes invariant.

Ga na dat hiervoor geldt det(A)=1 of det(A)=-1.
Helaas mag je dit niet omdraaien: met een tegenvoorbeeld is eenvoudig na te gaan dat |det(A)|=1 niet altijd een orthogonale afbeelding oplevert.

Je kunt de berekening van de determinant wel gebruiken om snel te zien of de afbeelding een spiegeling of rotatie kan zijn.

Verder kun je (meetkundig of algebraisch) inzien dat voor een spiegeling geldt: twee keer dezelfde spiegeling toegepast levert het origineel. In matrixtaal betekent dit dat A² gelijk aan de eenheidsmatrix moet zijn.

Zelf kun je misschien bedenken wat voor soort matrix een vermenigvuldiging t.o.v. O met een factor f heeft.
Deze laat ook hoeken invariant, (maar niet de lengtes).

Je kunt vermenigvuldigingen, rotaties en spiegelingen combineren. Je krijgt dan gelijkvormigheidsafbeeldingen.
Deze laten ook hoeken invariant.

Zie ook elliptische afbeeldingen

hk
20-11-2003