De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Vlakkemeetkunde

Twee regelmatige achthoeken met zijden z en Z

Twee regelmatige achthoeken met zijden z en Z hebben hetzelfde middelpunt en hun zijden zijn twee aan twee evenwijdig; de oppervlakte van de grootste(met zijde Z) is tweemaal deze van de kleinste. Bepaal de kortste afstand tussen hun zijden.Je kunt kiezen tussen:

a) z/3
b) z/2
c) Z/3
d) Z/2
e) z

Kan iemand mij aub helpen met dit?
Alvast zeer bedankt

shake
3-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Shake,

Stel de kleine regelmatige achthoek is $ABCDEFGH$. Je kunt de zijden $AB$, $CD$, $EF$ en $GH$ verlengen, dan vormen zij de zijden van een vierkant.
De aangeplakte hoekjes zijn rechthoekige driehoeken met schuine zijde $z$ en rechthoekzijden $\frac 12\sqrt{2}z$.
De lengte van de zijden van het vierkant zijn dus $z + \sqrt{2}z$.

De grotere achthoek heeft tweemaal zo grote oppervlakte en dus $\sqrt 2$ maal zo grote zijden: $\sqrt{2}\cdot(z + \sqrt{2}z)=2z + \sqrt{2}z$.

Het verschil in lengte tussen de zijden van de vierkanten is dus $z$.

Omdat de middens van de achthoeken samenvallen, dus ook van de vierkanten, is de kortste afstand tussen de zijden van de vierkanten de helft van het verschil in zijdelengte: $\frac 12z$. Dezelfde kortste afstand tussen de zijden geldt natuurlijk ook voor de achthoeken. Het antwoord is dus b.

FvL
4-1-2017


Lengte van koorde die een straal loodrecht middendoor deelt

Hoe kan ik bewijzen/aantonen dat een koorde die een straal middendoor deelt, als lengte r3 heeft ?

werner
4-1-2017

Antwoord

Printen
Dit kan je niet aantonen, zie onderstaande figuur:

q83622img1.gif

In de blauwe driehoek MSQ vind je met Pythagoras dat de helft van de koorde PQ de lengte 1/2r√3 heeft. De lengte van de gehele koorde PQ is dan r√3.

Of bedoelde je eigenlijk r√3 in plaats van r3?

GHvD
4-1-2017


Waar vind ik geschikte oefeningen voor meetkundige constructies?

Beste Wisfaq,

Ik ben een leerling uit 6 vwo. Ik heb met name moeite om goede oefeningen te vinden, die overeenkomen met de gestelde vragen op het eindexamen, in het domein: Meetkundige constructies.

Het boek wat wij gebruiken biedt mij helaas weinig tot geen goede oefeningen in de trend van zulke opgaves. Ik ben ondanks dat heel bereid om dieper te gaan in de stof, zodat ik het komende examen geen enkele last hoef te krijgen. Hierbij horen bijvoorbeeld de volgende vragen:Veel van de examenopgaven heb ik gemaakt, maar het zijn elke keer weer moeilijkere constructies waarbij ik het gevoel heb dat alleen heel veel oefenen mij op weg kan helpen.

Ik ben op zoek gegaan op internet in het Nederlands en Engels met zoekfuncties als: constructies meetkunde module, advanced constructions practice maar helaas kan ik niet zoveel 'nuttigs' vinden. Als u een opgavenboek/tekstboek (kan ook in het engels) kent waarin ik zulke constructies kan oefenen en waarbij de stof mij ook echt eigen wordt gemaakt, zou dat mij een hele eind op weg helpen.

Joris
14-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Joris,

Je stelt een lastige vraag. Tot nu toe heeft niemand van ons deze vraag opgepakt, daarom doe ik nu een poging, maar ook ik heb geen volledig antwoord op jouw vraag. Wel een paar tips die wellicht nuttig zijn.

Het zal lastig zijn om een algemeen boek te vinden dat precies past op onze exameneisen. Het meest voor de hand ligt toch een voor het VWO geschreven lesmethode. Ik weet niet welke methode jullie gebruiken, zelf vind ik Getal en Ruimte de meest plezierige methode. Hierin staan over het algemeen veel oefeningen. Mocht je zelf een andere methode gebruiken, dan loont het de moeite om het juiste deeltje van deze methode te zoeken.

Je hebt al veel examenopgaven geoefend, dat is natuurlijk prima. Maar een valkuil bij het maken van steeds nieuwe opgaven is dat je vastloopt, bij de uitwerking kijkt hoe je verder zou moeten, de uitwerking dan begrijpt en vervolgens naar een nieuwe opgave gaat. Wat je dan wellicht vergeet, is goed analyseren hoe het komt dat je een belangrijke stap niet zag: welke truc (in het algemeen: een stelling) is gebruikt bij de oplossing? Hoe komt het dat je zelf niet herkende dat deze stelling bruikbaar was? Hoe zou je volgende keer wel kunnen herkennen dat je zo'n stelling kunt gebruiken?

Ik geef je een voorbeeld. Je kent vast de stelling dat in een convexe koordenvierhoek de overstaande hoeken samen 180° zijn. Wanneer je een plaatje ziet van een cirkel met daarin alleen een koordenvierhoek, dan herken je dit gemakkelijk (ik noem dit wel eens: het antwoord spat van het papier af). Maar wanneer er ook nog allerlei andere lijnen in de figuur staan, dan herken je niet meer zo gemakkelijk dat vier lijnstukken 'toevallig' een koordenvierhoek vormen. Het kan ook zijn dat één van de koorden nog niet in de figuur staat, je moet zelf op het idee komen om de vierhoek compleet te maken.

Hetzelfde komt voor bij de stelling dat twee omtrekshoeken op dezelfde boog gelijk zijn. Ook deze situatie is moeilijker te herkennen wanneer er allerlei andere lijnen door de figuur lopen.

Naar mijn idee is het erg nuttig om figuren achteraf nog eens goed op je te laten inwerken: zie je de gelijke bogen? Zie je dat twee omtrekshoeken op dezelfde boog staan? Zie je de koordenvierhoek tussen alle andere lijnen? Maak eerder gemaakte opgaven na enkele dagen nog eens, en ga voor jezelf na of het gebruik van zo'n stelling nu wel logisch is voor je. Je zult dit deels op herinnering doen, maar deels ook op beter inzicht (=actief de oplossing nog eens genereren). Soms leer je hier meer van dan steeds vastlopen op nieuwe opgaven en de uitwerking bekijken (=passief bekijken hoe een ander de opgave heeft uitgewerkt). Onderschat het nut dus niet van het herhalen van eerdere opgaven.

Tot slot nog enkele algemene tips:
  • Wanneer je in een schets bepaalde verbanden ziet die (nog) niets met de uitwerking te maken hebben: toch alvast aangeven. Dit kan later helpen om een denkstap in te zien. Bijvoorbeeld: in een cirkel zijn stralen gelijk. Zet hierin een tekentje. Het kan best zijn dat je hierdoor later inziet dat een bepaalde driehoek gelijkbenig is, en dat dit handig is bij de verdere uitwerking.
  • Bij cirkels: denk aan stralen en koorden als hulplijnen. Hierdoor ontstaan vaak gelijkbenige driehoeken met steeds twee gelijke hoeken.
  • Redeneer ook 'achteruit' vanuit hetgene dat je moet bewijzen. Stel dat je moet bewijzen dat twee hoeken gelijk zijn. Bedenk welke verbanden nog meer bestaan wanneer die hoeken werkelijk gelijk zijn. Misschien zijn twee lijnstukken dan gelijk. Bekijk dan of je dit kunt bewijzen. Zo kan je wellicht nog verder terugredeneren. Wanneer je zo bij een eigenschap komt die je kunt bewijzen, dan kan je van daaruit de 'weg vooruit' weer volgen om je bewijs af te maken.
Helaas geen antwoord dat jouw vraag precies dekt, hopelijk heb je toch wat aan deze tips.

GHvD
23-1-2017


Bijzondere constructie van een vierkant via een rotatie

Opgave: Gegeven zijn 2 snijdende rechten a en b en een punt O buiten die rechten. Teken dan een vierkant ABCD, waarbij A resp. B gelegen is op de rechte a resp. b, én, O het middelpunt (zwaartepunt) is van dat vierkant.

Gedachtengang: Ik tekende vooraf de rechte d, één van de bissectrices van beide rechten, gelegen in de zone waar ook O is gelegen. Het snijpunt van beide rechten noemde ik M.

Ik dacht dan aan een rotatie, hetzij rond O, hetzij rond M of hetzij N, zijnde het midden van het lijnstuk OM.

Als ik er zou in slagen bijv. O op een bissectrice te krijgen, dan lijkt het niet zo moeilijk om de constructie uit te voeren.

Elk van die drie rotatiecentra bleek niet te werken, want dat deed ook de stand van de rechten te veranderen, zodat de stand van de bissectrice d ook veranderde... Ofwel heb ik iets over het hoofd gezien???



VRAAG: Welk rotatiecentrum had ik in deze situatie het best gekozen? Van harte bedankt voor uw eventuele tip!

Maryse
2-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Maryse,

Je moet twee punten A en B zien te vinden zodanig dat hoek AOB een rechte hoek is, en de afstanden OA en OB gelijk zijn (zie de figuur). Dan is lijnstuk AB een zijde van het gevraagde vierkant, OA en OB zijn halve diagonalen.

Roteer dus één van de lijnen (bv de rode lijn a) over 90° met O als rotatiecentrum. Het snijpunt van de geroteerde lijn met de groene lijn b is een hoekpunt van je vierkant.

In de figuur hierboven: wanneer A en B de gevraagde hoekpunten zijn, dan komt A na rotatie over 90° rechtsom op B te liggen. OB is een halve diagonaal van je vierkant, van hieruit kan je het gehele vierkant op verschillende manieren construeren.

Wanneer je de andere lijn roteert (of dezelfde lijn in de andere richting), dan vind je een tweede mogelijke oplossing.

GHvD
2-2-2017


Punt bepalen van waaruit men 2 cirkels ziet onder een zelfde hoek

Opgave: Gegeven is een rechte p en 2 niet snijdende cirkels (p snijdt ook niet de cirkels; zie ok bijgaande figuur). Zoek dan een punt P gelegen op p van waaruit men beide cirkels onder een zelfde hoek ziet. Maak hierbij gebruik van een geschikte rotatie.

Mijn bevindingen: Ik bepaalde vooraf het snijpunt S van p en de rechte O1O2 (centraal van beide cirkels). Ik roteerde de rechte p over een hoek a, tot p samen valt met O1O2. De buitenraaklijnen aan beide cirkels snijden elkaar in P' gelegen op de centraal. Ik roteerde P' naar de rechte p en vond op die manier een punt P, van waaruit men beide cirkels onder een zelfde hoek ziet. De hoeken heb ik gemeten via GeoGebra en stelde vast dat er een klein verschil op zit (ongeveer een kleine halve graad). Dit kleine verschil doet me twijfelen aan de correctheid van deze oplossing. Interne afrondingsfouten in GeoGebra lijken me toch heel onwaarschijnlijk.

VRAAG: Wat heb ik hier fout gedaan??? M.a.w. Is er een beter rotatiecentrum?
Hartelijk dank voor uw eventuele tussenkomst!

Yves
9-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Yves,

Je oplossing klopt inderdaad niet, want geogebra zou echt hetzelfde moeten geven. Ik kan niet helemaal precies volgen wat je hebt gedaan ("ik roteerde P' naar de rechte p" om welk punt?).

Het lastige van hints als deze is dat ik niet direct inzie welke rotaties je kunt gebruiken. Maar met wat denkwerk heb ik wel een andere oplossing, met meestal twee punten als oplossing:

Stel je even voor dat vanuit een punt $P$ de twee cirkels gezien worden onder dezelfde hoek. De raakpunten aan cirkel $(O_1,r_1)$ noemen we even $A_1$ en $B_1$ en aan cirkel $(O_2,r_2)$ noemen we $A_2$ en $B_2$. Dus $\angle A_1PB_1 = \angle A_2PB_2$. Je kunt nu inzien dat $\Delta A_1PO_1 \sim \Delta A_2PO_2$ (twee gelijke hoeken: rechte hoek aan het raakpunt en de helft van de "kijkhoek" bij $P$).

Maar dat betekent dat $O_1P:O_2P = O_1A_1:O_2A_2 = r_1:r_2$. En deze verhouding geldt kennelijk voor alle mogelijke punten $P$ vanwaar je de twee cirkels ziet onder gelijke hoek.

De meetkundige plaats van dergelijke punten is een Cirkel van Apollonius.

De cirkel van Apollonius snijdt uiteraard de centraal van de twee cirkels precies in de punten waar de gezamenlijke binnen- resp buitenraaklijnen van de twee cirkels samenkomen. Deze twee snijpunten zijn de uiteinden van een diameter van de cirel van Apollonius. Daarmee is hij eenvoudig te construeren, evenals zijn snijpunten met de gegeven lijn. Je ziet nu dat het er meestal twee zullen zijn.

Maar een geschikte rotatie heb ik eigenlijk niet gebruikt....

FvL
9-2-2017


Afstand in een trapezium

Gegeven is een trapezium ABCD waarbij AB//CD
|AB|= 8, |CD|=3, |AD| = 3 en |BC|=4.
M is het midden van AB en N is het midden van CD.
Bereken |MN|

Ik weet niet goed wat ik hier moet doen. Ik loop een beetje vast in mijn manier van oplossen. Ik denk dat ik iets met Pythagoras moet doen, maar ik kom niet verder, omdat ik de hoogte niet weet.

Gonnek
27-2-2017

Antwoord

Printen
Als je een lijnstuk door $D$ trekt parallel aan $BC$ naar een punt $E$ op $AB$ dan is $AED$ een rechthoekige ($3$-$4$-$5$-)driehoek. De hoogte van die driehoek is ook de hoogte van het trapezium.

kphart
27-2-2017


Bewijs zonder gelijkvormigheid

Hoe bewijs ik dat: de bissectrice van een hoek van een driehoek de overstaande zijde verdeelt in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden.
Deze vraag bestaat al maar ik vind het antwoord niet. Enkel door gelijkvormigheid toe te passen.

Alvast bedankt

Dries
28-2-2017

Antwoord

Printen
Dag Dries,
Uitgaande van een driehoek ABC waarvan de bissectrice van hoek A de zijde BC snijdt in D, kan je in ieder geval bewijzen dat de oppervlaktes van de driehoeken ABD en ACD zich verhouden als BD : CD (hoe?).
Het punt D heeft gelijke afstanden tot AB en AC (waarom?).
En dan kan je nog een keer de verhouding van de oppervlaktes van de reeds bekeken driehoeken uitdrukken in twee (andere) zijden van die driehoek.
En dan rest jou het netjes formuleren van het bovenstaande en het bewijs volledig maken.

dk
28-2-2017


Re: Afstand in een trapezium

Bedankt voor je reactie.
Nu weet ik alleen niet hoe ik verder kom om MN te bereken. Omdat |NP| niet precies 0,5 is.
Plaatje later toegevoegd

p2171img1.gif

Gonnek
1-3-2017

Antwoord

Printen
Wat is $P$? Die is nog niet ter sprake geweest. Maar je kunt nu $D$ loodrecht op $AB$ projecteren en daarmee uitrekenen waar de loodrechte projectie van $N$ op $AB$ ligt. Dan moet het lukken.

Naschrift: ik heb nu het plaatje gezien; daar was in de vraag niets over gezegd.

Ik neem aan dat $P$ de loodrechte projectie van $M$ op $CD$ is. In dat geval kun je $NP$ vinden door eerst $C$ op $AB$ te projecteren, zeg op het punt $Q$. Dan is $CQB$ ook een $3$-$4$-$5$-driehoek, dus weet je de afstand $BQ$ en dus ook $QM$, en daarmee ook $CP$ en $PN$.

kphart
1-3-2017


Cirkels in een driehoek

Stel: Je hebt een driehoek met gelijke zijden (vb. 15 cm) strak gevuld met 15 cirkels, allemaal gelijk van diameter.
  • Hoe bereken ik nu de diameter van 1 zo'n cirkel?

Robin
4-3-2017

Antwoord

Printen
Hallo Robin,

De straal van de cirkels noem ik r. Kijk dan eens naar de de grijze driehoekjes linksonder en rechtsonder:

q83981img1.gif

De verticale zijde is r lang, de scherpe hoek is 30° (weet je waarom?). Hiermee kan je de horizontale zijde x berekenen via:

tan(30°) = r/x , dus x = r/tan(30°).

De horizontale zijde van je driehoek heeft als lengte 15, dus geldt:

2x + 8r = 15

Voor x vul je in: x = r/tan(30°)

Dan heb je een vergelijking waarmee je r kunt uitrekenen (en daarmee natuurlijk de diameter).

Lukt het zo?

GHvD
4-3-2017


Een regelmatige veelhoek

Als je een regelmatige veelhoek hebt met een binnenhoek van 179° hoeveel hoekpunten heb je dan?

Anonie
9-3-2017

Antwoord

Printen
Als de buitenhoek gelijk is aan 179° dan hou je 1° over voor de tophoek. Bij 360° passen er 360 driehoeken met een tophoek van 1° in. Je hebt hier te maken met een driehonderdenzestighoek.

q84036img1.gif

Bedenk dat de binnenhoeken twee keer zo groot zijn als de basishoeken.

q84036img2.gif

Lukt dat zo?

WvR
9-3-2017


Verdubbeling kubus

Gegeven : Cirkel (O, r = 1). Lijn m door O. Lijnstuk door O loodrecht op m, snijdt cirkel in A en B. Lijn n raakt cirkel in B. Trek lijn uit A, die cirkel snijdt in Q en lijn n in R. Pas vanuit A AP = QR af. Deze lijn snijdt lijn m in U. P is een punt van een cissoide. Verlengde van lijn BP snijdt m in L. Stel OL =2. Nu is OU3√=OL=2→OU3√2.
Gaarne de berekening.
bvd
jaap

Jaap v
12-3-2017

Antwoord

Printen
Te vinden bij onderstaande link
Zie Wikipedia: Cissoide

kphart
12-3-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker