De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rijen en reeksen

Moessner`s magie

Geachte

Als onderzoek heb ik 'Moessner's magie' gekregen als onderwerp. Mijn vraag is of er ook toepassingen voor zijn in het dagelijkse leven?

Dank bij voorbaat

Jonas
10-1-2018

Antwoord

Printen
Had je Wiskunde en het dagelijks leven al gezien?

In dit geval lijkt het mij dat het de bedoeling is dat je 't vooral zelf probeert uit te zoeken en gaandeweg nog iets leert. Lees de spelregels er nog maar 's op na. We willen best helpen bij concrete wiskundige problemen maar er zijn grenzen.

In dit geval kan het best zijn dat de stelling van Moessner vooral een rol speelt bij andere wiskunde, bijvoorbeeld bij bewijzen m.b.t. rijen en reeksen. Ik zag een aantal keren de term 'coinductie' voorbij komen, maar dat is voor nietwiskundigen waarschijnlijk niet direct iets waar ze dagelijks mee te maken hebben.

Kortom: concrete vragen? Dat is prima! Maar verder... zelf doen!
Zie Stelling van Moessner

WvR
14-1-2018


Somformule bij rekenkundige en meetkundige rij

Ik begrijp een oefening niet. De igaat als volgt:

ĎEen bol rolt van een hellend vlak dat 100m lang is. Tijdens de eerste seconde legt hij 1 m af, 2de 3 m en 3de 5 m enz. In hoeveel tijd legt de bol de hellende weg af?'

Hoe moet ik dit berekenen want heb het al geprobeerd maar mijn antwoord was fout Help me aub

Tania
18-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Tania,

Jammer dat je jouw berekening niet meestuurt, dan hadden we beter kunnen zien wat jouw aanpak is en waar jouw vergissing zit. Nu kan ik alleen maar aangeven hoe ik de vraag zou aanpakken.

Er zijn verschillende manieren om dit vraagstuk op te lossen. Uit het onderwerp van je vraag maak ik op dat het de bedoeling is om gebruik te maken van een somformule van rijen. Dat kan zo:

De afgelegde afstanden in elke seconde vormen een rekenkundige rij. Ik noem de termen van deze rij a, dan ziet deze rij er zo uit:
  index:  1  2  3  4  5  ...     n
afstand: 1 3 5 7 9 ... 1+2(n-1)
De formule voor term an is:

an = 1+2(n-1)

De afgelegde weg na n seconden is de som van de eerste n termen. Voor deze som hebben we ook een formule. In woorden is dit:

Som van n termen is 1/2 keer aantal termen keer (eerste + laatste term).
Hier is dit dan:

Sn = 1/2∑n(a1+an)

We weten: a1=1 en an = 1+2(n-1)
Dit vullen we in de somformule in:

Sn = 1/2∑n(1 + 1+2(n-1))

Beetje netter schrijven:

Sn = 1/2∑n(2 + 2n-2)
Sn = 1/2∑2n2
Sn = n2

De afgelegde weg is 100 meter. Je moet dus oplossen:

n2 = 100

Wanneer je n weet, dan weet je hoeveel seconden nodig zijn om deze 100 meter af te leggen.

GHvD
19-1-2018


Re: Somformule bij rekenkundige en meetkundige rij


Dag Gilbert,
graag wat uitleg over de term ; 1+2(n-1). Heb soms moeite met zulke dingen....
Groetjes
Rik

Lemmen
19-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Rik,

Het gaat om deze rij getallen (de termen):

1, 3, 5, 7, 9, ...

Elke term vinden we door bij de voorafgaande term 2 op te tellen. Bijvoorbeeld:

De vierde term vinden we door de eerste term te nemen, en vervolgens drie 'stappen' naar rechts te zetten, dus drie keer 2 op te tellen. In formule:

a4 = 1 + 3∑2

Voor de vijfde term nemen we de eerst term plus vier keer 2:

a5 = 1 + 4∑2

Meer algemeen: voor de ne term nemen we de eerste term plus (n-1) keer 2:

an = 1 + (n-1)∑2
ofwel:
an = 1+2(n-1)

GHvD
19-1-2018


CoŽfficiŽnt berekenen

CoŽfficiŽnt berekenen van x9 in (x2-2x)6. Kan je mij hiermee helpen, aub? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen, maar door dat minteken gaat alles fout bij mij.

Tim
23-1-2018

Antwoord

Printen
Ergens in de uitwerking van $(x^2-2x)^6$ staat:

$
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)\left( {x^2 } \right)^{6 - p} \cdot \left( { - 2x} \right)^p + ...
$

De kunst is nu om te achterhalen wat $p$ is:

$
\begin{array}{l}
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)\left( {x^2 } \right)^{6 - p} \cdot \left( { - 2x} \right)^p + ... \\
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)x^{12 - 2p} \cdot ( - 2)^p \cdot x^p + ... \\
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)x^{12 - p} \cdot ( - 2)^p + ... \Rightarrow p = 3 \\
\end{array}
$

De coŽfficiŽnt wordt dan:

$
c_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
3 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( { - 2} \right)^3 = 20 \cdot - 8 = - 160
$

Opgelost?

WvR
23-1-2018


Middelste term berekenen

Middelste term berekenen van (a3 + 9b)12. Kan je dat met binomium oplossen? Dat lukt mij niet...

Koen
23-1-2018

Antwoord

Printen
De termen lopen van $0$ tot en met $12$. Dat zijn $13$ termen met de middelste nummer $7$ en daarbij hoort $k=6$. Deze term ziet er zo uit:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
6 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {a^3 } \right)^6 \cdot \left( {9b} \right)^6
$

Uitwerken geeft:

$
924 \cdot a^{18} \cdot 9^6 \cdot b^6 = {\rm{491051484}}a^{18} b^6
$

Helpt dat?

WvR
23-1-2018


Een directe formule opstellen

Ik kom absoluut niet uit deze som.

De recursieve formule is:

u(n) = $\frac{1}{2}$(u(n-1)-1)+2

De eerste 5 termen zijn 2 - 2,5 - 2,75 - 2,875 - 2,9375

Ik moet nu dus zelf de directe formule geven, maar ik ben al uren bezig om die te berekenen en ik snap het maar niet.

Beyonc
1-2-2018

Antwoord

Printen
Dit is een voorbeeld van een differentievergelijking:

q85664img1.gif
Uit de voormalige formulekaart

Je kunt $
u(n) = \frac{1}
{2}\left( {u(n - 1) - 1} \right) + 2
$ schrijven als:

$
u(n) = \frac{1}
{2}u(n - 1) + 1\frac{1}
{2}
$

Je kent de waarde van a, b en u(0), dus dan is het vooral een kwestie van invullen:

$
\eqalign{
& a = \frac{1}
{2} \cr
& b = 1\frac{1}
{2} \cr
& u(0) = 2 \cr
& u(n) = \frac{{1\frac{1}
{2}}}
{{1 - \frac{1}
{2}}} + \left( {2 - \frac{{1\frac{1}
{2}}}
{{1 - \frac{1}
{2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr
& u(n) = 3 + \left( {2 - 3} \right) \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr
& u(n) = 3 - \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr}
$

Opgelost?

WvR
1-2-2018


Meetkundige reeks

Goedemorgen,

Bij de volgende opdrachten loop ik een beetje vast bij de uitwerking. Hopelijk kunt u mij verder helpen.

a. 10 + 10 x 1,2 + 10 x 1,22+...+10 x 1,2n-1 is een
meetkundige reeks met n termen, bepaal de som.
De beginterm (a) = 10 en de reden (r) = 1,2
Som = a1-rn/1-r
Som = 101-1,2n/1-1,2

Tot hier snap ik de uitwerking, maar ik snap niet hoe je vervolgens naar het antwoord 101,2n-1/0,2 = 50(1,2n-1) komt. Zou u mij dit uit kunnen leggen?

Alvast bedankt!

B
6-2-2018

Antwoord

Printen
Je doet wel iets vreemds. Machtsverheffen in plaats van vermenigvukdigen. De som van een meetkundige rij is:

$
\eqalign{\sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{u_0 \left( {1 - r^{n + 1} } \right)}}
{{1 - r}}}
$

Invullen geeft dan:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{u_0 \left( {1 - r^{n + 1} } \right)}}
{{1 - r}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1 - 1,2^{n + 1} } \right)}}
{{1 - 1,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1 - 1,2^{n + 1} } \right)}}
{{ - 0,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1,2^{n + 1} - 1} \right)}}
{{0,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = 50\left( {1,2^{n + 1} - 1} \right) \cr}
$

...maar dat laatste stuk zal het probleem niet (mogen) zijn.

WvR
6-2-2018


Inverse Taylorreeks

Beste,

Tijdens het maken van mijn wiskundeopdrachten ben ik erachter gekomen dat je een product bijvoorbeeld (x-1)4 kan omschrijven naar een som. (In dit geval 1-4x+6x2-4x3+x4). Ik ben hiervan uitgegaan van x=0 als startpunt (Maclaurin-reeks). Nu was mijn vraag aan u is het mogelijk om deze stap andersom uit te voeren. Oftewel bestaat er een inverse taylorreeks.

Graag hoor ik van u.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin
7-2-2018

Antwoord

Printen
Als je bedoelt: kun je systematisch $(x-1)^4$ uit die som terugvinden, dan ja: schrijf elke $x$ als $x-1+1$ en schrijf dan elke macht van $x$ uit: $x^2=(x-1+1)^2=(x-1)^2+2(x-1)\cdot1+1^2$ enzovoort, na wat werk zul je zien dat inderdaad $(x-1)^4$ overblijft.

kphart
7-2-2018


Re: Inverse Taylorreeks

Beste,

Nu nam ik (x-1)4 als voorbeeld om mijn probleem uit te leggen. Maar is het systematisch terug vinden van het product even eenvoudig voor sommen zoals x4+a4 of x4-4x3+2x2+4x+4.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin
11-2-2018

Antwoord

Printen
De vraag is ook: wat bedoel je met `inverse Taylorreeks'?
  • bedoel je: van een som weer een macht maken? Dan nee, niet elk polynoom is een macht van ťťn enkele factor.
  • bedoel je: van een som een product van factoren van de vorm $x-a$ maken? Dan ja, maar dat heeft niets met Taylorreeksen te maken, dat gaat om het zoeken van de nulpunten en daarmee ontbinden in factoren.
  • wat ik in het antwoord gedaan heb is van je som een Taylorpolynoom maken met een ander centrum, in dat geval $1$. Zelf noem ik dat wel eens `opschuiven'. Dat kan algebraisch, door telkens $x$ te vervangen door $x-a+a$ en dan alle machten uitvermenigvuldigen, en dat kan ook analytisch, door de formules voor Taylorpolynomen en -reeksen te gebruiken.
  • maar goed: wat bedoel je echt met `inverse Taylorreeks'?

Zie Wikipedia: stelling van Taylor

kphart
12-2-2018


Re: Re: Inverse Taylorreeks

Het eerste polynoom dat vragensteller nu geeft is middels kwadraatafsplitsing te herleiden tot

(x2 + a∑$\sqrt{2}$∑x + a2)(x2 - a∑$\sqrt{2}$∑x + a2)

en het tweede is te herleiden tot

(x2 - 2x - 1)2 + 3

maar dit laatste is niet te ontbinden in factoren met reŽle coŽfficiŽnten.

Hij lijkt te denken dat je Taylorreeksen zou kunnen gebruiken om polynomen te ontbinden, maar dat is niet zo.

Het inverteren van een Taylorreeks kan overigens wel, dat werd veel door Newton gebruikt, bijvoorbeeld om een reeks voor sin(x) te vinden uit een reeks voor arcsin(x) die hij had verkregen door een reeks voor (1 - x2)$^{-\frac{1}{2}}$ te primitiveren, maar dat is heel wat anders dan vragensteller kennelijk wil.

Ripari
13-2-2018

Antwoord

Printen
Dat klopt allemaal maar ik zou graag zien dat de vraagsteller zelf duidelijk maakt wat hij eigenlijk bedoelt.
Bij het laatste zou ik overigens liever spreken van `de Taylorreeks van de inverse'.
Zie Newton en de logaritme

kphart
13-2-2018


Re: Re: Inverse Taylorreeks

Nog even een aanvulling. Ook

x4 - 4x3 + 2x2 + 4x + 4

is uiteraard te ontbinden in ∑kwadratische∑ factoren met reŽle coŽfficiŽnten, maar dat levert wel een vrij lastige uitdrukking op.

Voer onderstaande opdracht in bij WolframAlpha om de ontbinding te zien:

Ripari
13-2-2018

Antwoord

Printen
Dat klopt ook; met wat huisvlijt kun je hiervoor de formules van Ferrari voor gebruiken.
Zie Wikipedia: Quartic function

kphart
13-2-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker