De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte bolwoning

Hallo,
Mijn vraag gaat over een gedeelte van de formule van een bolwoning:

In 's-Hertogenbosch staan vijftig bolwoningen die in 1984 zijn gebouwd, deze zijn ontworpen door de beeldhouwer, ontwerper en architect Dries Kreijkamp.

Welke oppervlakte hebben deze bolwoningen als de diameter van de bol zelf 8 meter en die van de cilinder 6 meter is, terwijl de hoogte van de cilinder 3 meter is?
Maak hierbij gebruik van de formule voor de oppervlakte van een bolsegment met hoogte h van een bol met straal r.
De oppervlakte van zo'n bolsegment is 2$\pi$rh.

Oplossing:
Oppervlakte van een cilinder= 2$\pi$rh
Voor de bol geldt h=2r
Oppervlakte bol 2$\pi$r2r= 4$\pi$r2
Oppervlakte bolkap= $\pi$(r2+h2)

Invullen:
Oppervlakte= 4$\pi$42-($\pi$(32+42))+2$\pi$33=
Oppervlakte= opp.bol-bolkap+opp.cilinder.

Ik kom dus niet op het gewenste antwoord uit van 223,6m2.
Dat als oplossing wordt gegeven met de formule:
Opp= 4$\pi$42-2$\pi$4(4-√42-32)+2$\pi$33
=223,6m2

Mijn vraag gaat over het gedeelte
-2$\pi$4(4-√42-32)

Waar komt de 2 vandaan is dit nu het verschil tussen beide diameter 8-6. Of van de tekst "De oppervlakte van zo'n bolsegment is 2$\pi$rh".??
Mijn insziens komt het van de tekst.

Maar daar komt mijn tweede vraag dan uit voort
-2$\pi$4(4-√42-32)
De oppervlakte van zo'n bolsegment is 2$\pi$rh
2$\pi$
r=4
h=4-√42-32

Waarom de eerste 4, ik weet dat het de straal van de bol is, maar waarom niet de straal van de cilinder, deze opp. gaat er immers vanaf.

Waarom het minteken onder de wortel, er staat Pythagoras waaruit je kunt afleiden dat je de schuine/bolvormige zijde al hebt, ik begrijp niet waar ze deze schuine zijde vandaan hebben, ik kom niet verder dan √42+32.

Ik begrijp gewoon niet zo goed waarom de formule van een bolsegment 2$\pi$rh omgeschreven is in de formule
-2$\pi$4(4-√42-32).

Kunt u mij hierbij helpen, waarschijnlijk kijk ik er helemaal verkeerd naar.

Groet Kees

Kees
12-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Zie deze doorsnede van de bolwoning:

q83702img2.gif

In het grijze driehoekje zie je met behulp van Pythagoras dat de afstand tussen bovenrand cilinder en middelpunt bol gelijk is aan √(42-32) = √7. Dan blijft over voor de hoogte h van het bolsegment:

h = r-√7 = 4-√7

De oppervlakte van het bolsegment is dan:

Oppbolsegment = 2$\pi$rh = 8$\pi$(4-√7)

Invullen levert:

Oppwoning = oppcilinder + oppbol - oppbolsegment

Oppwoning = 18$\pi$ + 64$\pi$ - 8$\pi$(4-√7) = 223,6 m2.

Overigens kan je de oppervlakte van het deel van de bol boven de cilinder ook als n segment beschouwen, met hoogte r+√7 = 4+√7. Dan geldt in n keer:

Oppwoning = oppcilinder + oppbolsegment

Oppwoning = 18$\pi$ + 8$\pi$(4+√7) = 223,6 m2.

GHvD
12-1-2017


Re: Formule oppervlakte vijfhoek

Ik heb een cirkel met straal 20 mm gekregen met daarin een regelmatige vijfhoek maar ik begrijp niet goed hoe je de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek kan berekenen.

Arno
14-1-2017

Antwoord

Printen
Het antwoord stond op Formule oppervlakte vijfhoek toch? Kun je misschien aangeven welk deel van de oplossing je niet begrijpt?

WvR
14-1-2017


Re: De oppervlakte en inhoud van een tetrader

Hallo,

Ik had een vraag over het gedeelte van uw uitleg:
Nu nog PS berekenen. Met behulp van het gegeven dat ABQ gelijkvormig is met ASP (ga na!) kan je PS berekenen.
PS=1/6a√3

Ik kom niet op de 1/6.

Is dit 1/21/3=1/6.?
Mar dit doe je toch al in de vervolgstap?

Wanneer ik een verhoudingstabel maak, krijg ik:
APBQ/AQ=PS
1/2a1/2a gedeelt door 1/2a√3=1/2a√3

Hoe bereken ik de 1/6?

Bij voorbaat mijn dank.
Groet Kees

Kees
14-1-2017

Antwoord

Printen
Volgens mij krijg je inderdaad:

q83721img1.gif

Maar dan:

$
\eqalign{
& SP \cdot \frac{1}
{2}a\sqrt 3 = \frac{1}
{2}a \cdot \frac{1}
{2}a \cr
& SP = \frac{{\frac{1}
{4}a^2 }}
{{\frac{1}
{2}a\sqrt 3 }} = \frac{{a^2 }}
{{2a\sqrt 3 }} = \frac{a}
{{2\sqrt 3 }} \cr
& SP = \frac{a}
{{2\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}
{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}
{{2 \cdot 3}} = \frac{{a\sqrt 3 }}
{6} = \frac{1}
{6}a\sqrt 3 \cr}
$

...en dat is het dan!

WvR
14-1-2017


Compactheid

Voor een opdracht moet ik de compactheid van een gebouw bepalen, met de vorm van een cilinder, waarboven een halve bol is geplaatst. Deze compactheid kan je berekenen met C=V/A, oftewel volume/oppervlakte. Ik heb de compactheid berekend en kom uit op een compactheid van 3 m. Nu is de volgende vraag, geef een formule voor de compactheid als de straal r meter is en vereenvoudig deze. Het begin van de formule heb ik opgezet, kom ik uit bij dit:

(2/3$\pi$r3+$\pi$r2h)/(2$\pi$r2+2$\pi$rh+$\pi$r2)

Het antwoord zou na vereenvoudiging 1/3r moeten zijn, kan iemand mij uitleggen hoe ik daar kom?

Vriendelijke groet,
Aard

Aard
19-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Aard,

De verhouding volume/oppervlakte hangt niet alleen af van de straal r, maar ook van de hoogte h. Ik vermoed dat je de formule moet geven voor het geval h=r. Invullen in jouw formule levert:

C = V/A = (2/3$\pi$r3+$\pi$r3)/(2$\pi$r2+2$\pi$r2+$\pi$r2)

C = (5/3$\pi$r3)/(5$\pi$r2)

C = 1/3r(5$\pi$r2)/(5$\pi$r2)

C = 1/3r

Bij andere verhoudingen tussen r en h vind je andere formules voor C.

GHvD
19-1-2017


Bol tussen 3 bollen

Als je drie bollen hebt tegen elkaar aan met een diameter D hoe dik (diameter d) is dan de bol die er precies tussen past?

Eric e
19-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Eric en Wim,

Zie het grijze driehoekje in onderstaande figuur:

q83769img1.gif

De straal van de grote cirkels is R, de straal van de kleine cirkel in het midden is r.
De horizontale zijde van het driehoekje heeft lengte R, met de aangegeven hoek van 30 is de schuine zijde te berekenen. Trek hier R vanaf, dan hou je de straal r van de kleine cirkel over.

GHvD
19-1-2017


Re: Oppervlakte bolwoning

Hallo,

Bedankt voor uw uitleg. Ik heb dit verder gbruikt om de Inhoud te berekenen.
waarbij gebruikt gemaakt moet worden van de formule voor de inhoud van een bolsegment met hoogte h van een bol met straal r.
De inhoud van zo'n bolsegment is: 1/3$\pi$h2(3R-h).

De inhoud=
4/3$\pi$43-1/3$\pi$(4-√2-32)2(34-(4-√42-32))+$\pi$323337,8 m3
Inhoud Woning=inhoud bol-inhoudbolsegment+inhoud cilinder

Waarmee ik voordat ik begin mee in de war raak is het volgende en tevens mijn vraag:
Inhoud bolsegment= 1/6$\pi$h(3r2+h2)

Moet ik nu het bolsegment zien als een Kegel, zoals in de opgave omschreven is met inhoud=1/3$\pi$h2(3R-h).?
Wat is het verschil tussen beide formules en waarom?

En zo ook bij het vorige waar de Oppervlakte gevraagd wordt, volgens de opgave met
oppervlakte bolsegment=2$\pi$rh

Waarom is hier:
oppervlakte bolsegment=oppervlakte cilinder
En niet oppervlakte bolkap=$\pi$(r2+h2)

Waar ik over struikel met de formules die in de opgave worden gegeven voor de oppervlakte en de inhoud, is dat nergens wordt gesproken over cirkelsectoren, de hoek en hoogte waarop de cilinder de bol raakt.

Of is dit gewoonweg niet van toepassing?

Bij voorbaat mijn dank.

Groet Kees

Kees
20-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Een bolsegment is geen kegel, de formule die in de opgave staat is ook niet de formule voor de inhoud van een kegel.
Voor de inhoud van een bolkap bestaan twee formules:

Inhoud = 1/6$\pi$h(3r2+h2) (formule 1)
Inhoud = 1/3$\pi$h2(3R-h) (formule 2)

Let erop dat r in formule 1 niet hetzelfde is als R in formule 2! R is de straal van de bol, r is de straal van de bolkap (dus de straal van het 'grondvlak' van de bolkap), zie onderstaande figuur:

q83773img1.gif

R = straal bol
r = straal bolkap
h = hoogte bolkap

Toch zijn deze formules in feite hetzelfde. Immers, volgens Pythagoras geldt:

r2 = R2-(R-h)2

Haakjes wegwerken levert:

r2 = 2Rh-h2

Vul dit in formule (1) in:

Inhoud = 1/6$\pi$h(3(2Rh-h2)+h2)
Inhoud = 1/6$\pi$h(6Rh-3h2+h2)
Inhoud = 1/6$\pi$h(6Rh-2h2)
Inhoud = 1/3$\pi$h2(3R-h)

Nu heb je formule (2) gekregen.

Dan jouw vraag 'Waarom is hier: oppervlakte bolsegment=oppervlakte cilinder." Hiermee maak je een belangrijke vergissing. Voor de oppervlakte van een cilindermantel geldt inderdaad de formule:
oppcilinder = 2$\pi$rh, waarbij r de straal is van het cirkelvormige grondvlak van de cilinder.
Voor de oppervlakte van een bolkap geldt de formule:
oppbolkap=2$\pi$Rh, hierin is R de straal van de bol, niet de straal van de bolkap. Je moet deze twee stralen niet door elkaar halen!

Tot slot jouw laatste punt: je struikelt over formules voor oppervlakte en inhoud, er is niets gegeven over de hoek en hoogte waarop de cilinder de bol raakt.
Twee dingen lijken me belangrijk: wanneer de straal van de bol gegeven is (R=8) en de straal van de cilinder (r=6), dan kan je zelf berekenen hoe hoog de bolkap is die in de cilinder 'wegzakt', zie mijn antwoord op jouw vorige vraag. Dit is onderdeel van de opdracht. Hiervoor moet je een nette schets maken (=eerste belangrijke punt).
Vervolgens moet je de formules netjes en zorgvuldig uitwerken (=tweede belangrijke punt). Zet duidelijke letters in je figuur (h, R) en als je te maken hebt met twee verschillende stralen (hier: van de bol en van de cilinder), gebruik dan duidelijk verschillende symbolen, zodat je niet de bolstraal in de formule voor een cilinder invult of andersom. Neem kleine stappen (bv bij wegwerken van haakjes), hiermee voorkom je vergissingen.

Hopelijk helpt dit.

GHvD
20-1-2017


Re: Re: Oppervlakte bolwoning

Hallo,

Dank voor uw overzichtelijke uitleg.
Inderdaad maak ik vaak snelle fouten, zoals ik deze noem.
Met het merkwaardig product (R-h)2 in:
r2=R2-(R-h)2
=R2-R2-2Rh+h2
=2Rh-h2

En met het buitenhaakjes halen van 2h.

Groet Kees

Kees
20-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Reken niet te veel in je hoofd maar noteer je denkstappen, neem kleine stappen (niet groter dan waarbij je zeker weet dat je geen vergissing maakt) en voldoende oefenen, dan komt het wel goed!

GHvD
21-1-2017


Re: Re: Hoeveel meter zit er in een vierkante meter?

15m = ... m2

robin
21-1-2017

Antwoord

Printen
Een meter is een maat voor lengte en een vierkante meter is een maat voor oppervlakte. Ik weet niet precies wat je bedoelt. Of had ik dat al gezegd?

WvR
21-1-2017


Re: Re: Re: Oppervlakte bolwoning

Hallo,

Ik heb nog een vraag los van de uitleg op mijn eerdere vraag, de uitleg is helder en overzichtelijk deze begrijp ik.
Zoals ik al aangaf ging ik voor de oppervlakte van een bolkap in het begin uit van de formule =$\pi$(r2+h2).
In de opgave werd de formule voor het bolsegment gegeven =2$\pi$rh, na uw uitleg 2$\pi$Rh.

R= straal van de bol
r= straal van het cirkelvormig grondvlak van de cilinder

Kortom:
De formules 2$\pi$Rh en $\pi$(r2+h2) zijn beide formules van de oppervlakte van een bolsegment.

Invullen:
2$\pi$Rh
=2$\pi$4(4-√7)
=8$\pi$(4-√7)
=34.04

$\pi$(r2+h2)
=$\pi$(32+(4-√7)2)
=34,04

Ik begrijp niet hoe je van r naar R gaat, R=r.

De formule 2$\pi$Rh is een omtrek, een lengte.
De formule $\pi$(r2+h2) is een oppervlakte.

Van oppervlakte naar lengte is worteltrekken, maar waar blijft deze?

Mijn opmerking in mijn vorige vraag "of ik de het bolsegment moest zien als een kegel"kwam uit dit, waarom ik denk worteltrekken, voort:
De kegelmantel is het 2$\pi$r/2$\pi$√r2+h2 deel van een cirkel met een oppervlakte van $\pi$√r2+h2.

Wat ik ook geprobeerd heb is:
$\pi$R2=$\pi$r2
R=√(r2+r2)
R=√(2r2)
R=√2√(r2)
R=√2r
R=r√2

Maar bovenstaande is voor de omgeschreven en ingeschreven cirkel van een vierkant, wwarbij de omtrek verdubbeld.

Verder geprobeerd de oppervlakte te delen door de oppervlakte,
R=A/P
R=$\pi$(r2+h2)/2$\pi$rh
R=r+h/2
Invullen van de getallen, antwoord klopt niet.

Ik heb naar de Koorde gekeken:
k=2Rsin(1/2a)

De afgeleide bekeken.
De wortel gesoleerd en daarna gekwadrateerd.

Niets lukt.

Ik zie niet waar het 1/2 of de wortel blijft.

Of worden de formules 2$\pi$Rh en $\pi$(r2+h2) niet naar elkaar omgeschreven.

Ik zie het even totaal niet meer. Of zit ik totaal verkeerd te kijken?

Bij voorbaat mijn dank,
Groet Kees

Kees
26-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Alles gaat goed tot en met de twee manieren waarop je de oppervlakte berekent. Maar hierna schrijf je:

"Ik begrijp niet hoe je van r naar R gaat, R=r."

Maar R en r zijn toch gewoon gegeven?

R=4 (straal van de bol)
r=3 (straal van het cirkelvormig grondvlak van de cilinder)

Als je in de war raakt: kijk nog eens in de schets die je bij dit soort opaven altijd moet maken:

q83802img1.gif

Jouw opmerking "2$\pi$Rh is een omtrek, een lengte" is onjuist. Wellicht denk je aan de formule:

Omtrek cirkel = 2$\pi$R

Maar bij de formule:

Oppervlakte bolkap = 2$\pi$Rh

komt een extra lengte h voor, de eenheid wordt hiermee een lengte in het kwadraat. Dit past bij een oppervlakte.

Ik heb de indruk dat je probeert om in berekeningen een formule te herkennen, en hieruit de conclusie te trekken dat je te maken hebt met bijvoorbeeld een omtrek van een cirkel of een oppervlakte van een kegelmantel. Dit is niet de juiste weg. Wanneer je uit moet rekenen: ab, dan kan je niet concluderen: "Oh, ab is de formule die hoort bij de oppervlakte van een rechthoek met zijden a en b, dus ik heb hier te maken met een rechthoek". Er zijn meer situaties waarbij je twee getallen moet vermenigvuldigen!
Zo ook bij de formule "Oppervlakte bolkap = 2$\pi$Rh". Het deel 2$\pi$R is 'toevallig' ook de omtrek van het middenvlak van deze bol, maar daarmee heb je niet automatisch met deze omtrek te maken.

Een betere weg is juist andersom: maak een nette schets, uit deze schets volgen de formules die je voor berekeningen kunt gebruiken.

GHvD
28-1-2017


Bepalen van het soortelijk gewicht van zand

Voor de bepaling van het soortelijke gewicht van zand wordt in een maatbeker 400 ml water gedaan. Na toevoeging van 891 gram droog zand staat de bovenkant van het water op 741 ml en de bovenkant van het zand op 516 ml. Bereken het soortelijk gewicht van zand in kg/m3.

Lars
29-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo Lars,

Het volume van het zand volgt uit de toename van het totale volume, de massa van het zand is gegeven. De soortelijke massa volgt dan uit de definitie hiervan:

Soortelijke massa = massa/volume

Let erop dat je de gegevens omrekent naar de juiste eenheden voordat je gaat rekenen!

De term "soortelijk gewicht" is onjuist, verouderd. Gewicht is een kracht, de eenheid hiervan is newton, niet kilogram. Helaas worden de begrippen "gewicht" en "massa" nog steeds door elkaar gehaald.

Overigens kan je dit soort natuurkundevragen beter stellen bij www.natuurkunde.nl.

GHvD
29-1-2017


Hoeveel cm van de doos blijft er over?

Als ik een vierkante doos van 32 cm bij 32 cm heb en ik doe er een vlaai in met een diameter van 30 cm hoeveel cm van de doos is er dan zichtbaar?

Laura
28-3-2017

Antwoord

Printen
Wiskundig gezien heb je een vierkant van 32 bij 32 cm en een cirkel met een diameter van 30. Dat ziet er dan ongeveer zo uit:

q84152img1.gif

Bereken de oppervlakte van het vierkant:
3232=1024 cm2

Bereken de oppervlakte van de cirkel:
$\frac{1}{4}$$\pi$302=225$\pi$

Wat is er nu zichtbaar?
1024-225$\pi$

Dat is dan ongeveer 317 cm2.

Helpt dat?

WvR
28-3-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker