De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte

Bewijs dat de oppervlakte S van een convexe n-hoek ingeschreven in een cirkel met straal R gegeven wordt door: S= n.R.sin(pi/n).cos(pi/n).

Eline
18-1-2022

Antwoord

Printen
Twee opmerkingen. Ik denk dat het een REGELMATIGE convexe ingeschreven n-hoek moet zijn, anders geldt het namelijk niet. En zo te zien klopt je aangegeven formule ook niet.

Voor het afleiden van de oppervlakte S reken je eerst de oppervlakte van n van de n driehoekhoeken uit. De situatie zie je in het volgende plaatje. Begin met de halve blauw gekleurde rechthoekige driehoek.

q93280img1.gif

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
18-1-2022


Regelmatige N-hoek

bewijs dat in een regelmatige n-hoek de zijde, resp. het apothema, gegeven worden door Zn = 2Rsin(pi/n) en An = Rcos(pi/n), waarbij R de straal van de omschreven cirkel is. stel R=1/2 en n=96. bereken de oppervlakte van de ingschreven 96-hoek. beschouw nu de 96-hoek waarvoor A96=R, (d.i. de omgeschreven 96-hoek) en bereken hiervan de omtrek. het insluiten van een cirkel met een straal 0,5 werd reeds door archimedes uitgevoerd om een benaderde waarde van pi te berekenen. hij kwam tot de conclusie dat 3.(10/71) $<$ pi $<$ 3. (1/7)

Eline
18-1-2022

Antwoord

Printen
Je hebt genoeg aan het plaatje dat in het antwoord bij je vorige vraag staat.

En sector van de $n$-hoek hoort bij $x=\frac\pi n$; dat geeft je de omtrek. In het plaatje is de lijn van het midden naar de koorde het apothema, en die is dus $R\cos x$ lang. De rest is een kwestie van invullen.

Overigens is het een goed idee de spelregels nog eens goed te lezen, in het bijzonder punt 8.

Als je alleen maar een som overschrijft en niet de moeite neemt zelf een vraag te formuleren gooien we de vraag gewoon weg.

kphart
19-1-2022


Volume van kubus en manteloppervlakte

Ik heb ook op internet opgezocht, maar ik weet echt niet hoe ze aan deze uitkomst geraken.

Cagla
25-2-2022

Antwoord

Printen
Ik heb ook geen idee waar je 't over hebt...

WvR
25-2-2022


Kegel in drie gedeelten met gelijke inhoud verdeeld

VRAAG: Een kegel met hoogte h en straal van het grondvlak r wordt door twee vlakken, evenwijdig met het grondvlak en op een afstand d en d' (d $<$ d') van de top verdeeld in drie gedeelten die dezelfde inhoud hebben. Bepaal d en d' enkel als functie van h.
  • Kan iemand mij helpen dit op te lossen?

Thibau
14-4-2022

Antwoord

Printen
Als je het kleine kegeltje bovenin de kegel bekijkt dan is de inhoud daarvan $\frac{1}{3}$ van de inhoud van de gehele kegel. Andersom kan je zeggen dat de gehele kegel 3 keer zo groot is als de kleine kegel. Als de inhoud 3 keer zo groot is dan is de vergrotingsfactor $
\sqrt[3]{3}
$.

Als $d$ de hoogte is van de kleine kegel dan geldt:

$
\eqalign{
& \root 3 \of 3 \cdot d = h \cr
& d = \frac{h}
{{\root 3 \of 3 }} \cr}
$

Dan kan je zelf misschien bedenken wat $d'$ is...

WvR
14-4-2022


Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

Ik zoek een inhoud berekening voor vloeistof in een verticale cilinder met een afgeplatte onderzijde. Met name de inhoud indien de bodem nog niet helemaal bedekt is.

Helling/afplatting 1:20

D = 300 mm (diameter cilinder)
H = 200 mm (vloeistofhoogte in de cilinder op laagste punt)

Ik ben dus op zoek naar het volume als functie van de hoogte.

Groet Jan

Jan
9-5-2022

Antwoord

Printen
Laten we de cilinder zo draaien dat de lange lijnen in de tekening op/boven de $x$-as liggen en de centrale as op de $z$-as ligt. Dan heeft het grondvlak de (makkelijke) vergelijking $z=\frac1{20}(x+150)$.

De plak op hoogte $z\le15$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le150^2$ n $x\le 20z-150$.
De oppervlakte van zo'n plak is gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-150}^{20z-150}2\sqrt{150^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partile integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{150^2-x^2}+150^2\arcsin\frac x{150}\right]_{-150}^{20z-150} & =
(20z-150)\sqrt{150^2-(20z-150)^2}\\
&\qquad{}+150^2\arcsin\frac{2z-15}{15}+150^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le15$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{150^2\pi}{2}h-\frac1{60}(150^2-(20h-150)^2)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{15}2\times150^2\left(\frac{2h-15}{15}\arcsin\frac{2h-15}{15}+\sqrt{1-\left(\frac{2h-15}{15}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Als $h=15$ krijgen we precies het volume van de cilinder met diameter $300$ en hoogte $15$, gedeeld door $2$, dus $V(15)=\frac12\pi\cdot150^2\cdot15$.
Voor $h\ge15$ hebben we
$$V(h)=V(15)+\pi\cdot150^2\cdot(h-15)
$$

kphart
12-5-2022


Inhoud afgeknotte cilinder

Hoe bereken je de inhoud van een afgeknotte cilinder?

Imp
10-5-2022

Antwoord

Printen
Je kunt dit opvatten als de helft van een complete cilinder met een doorsnede van 8 en een hoogte van 8. Bereken de inhoud en neem de helft voor het lichaam uit het plaatje.

$
\eqalign{
& I_{cilinder} = \pi r^2 h \cr
& I_{cilinder} = \frac{1}
{4}\pi d^2 h \cr
& I_{d = 8,h = 8} = \frac{1}
{4}\pi \cdot 8^2 \cdot 8 = 128\pi \cr
& I_{afgeknot} = 64\pi \approx 201,1 \cr}
$

Of als formule met $d=8$, $h_1=6$ en $h_2=2$:

$
\eqalign{
& I_{afgeknot} = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{4}\pi d^2 h \cr
& I_{afgeknot} = \frac{1}
{8}\pi d^2 \left( {h_1 + h_2 } \right) \cr
& I_{afgeknot} = \frac{1}
{8}\pi \cdot 8^2 \left( {6 + 2} \right) = 64\pi \approx 201,1 \cr}
$

Kan ook...:-)

WvR
10-5-2022


Re: Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

Ik heb nu de oplossing voor deze cilinder dank hiervoor.
Is deze ook generiek te maken waarbij de diameter en helling/afplatting ook variabelen zijn?

Dan kan ik deze verkregen formule ook in andere situaties toepassen.

Groet,
Jan

Jan
13-5-2022

Antwoord

Printen
We noemen de straal van de cilinder $R$ en we noteren de helling van het
grondvlak als~$\frac1a$ (dat maakt de formules straks iets makkelijker). In de vorige vraag hadden we dus $R=150$ en $a=20$.

Dan heeft het grondvlak de vergelijking $z=\frac1a(x+R)$. De maximale hoogte van het grondvlak is dan $\frac2aR$, bij $x=R$.

De plak op hoogte $z\le\frac2aR$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le R^2$ n $x\le az-R$.
De oppervlakte van zo'n plak is dan gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-R}^{az-R}2\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partile integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac x{R}\right]_{-R}^{az-R} & =
(az-R)\sqrt{R^2-(az-R)^2}\\
&\qquad{}+R^2\arcsin\frac{az-R}{R}+R^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le\frac2aR$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(R^2-(ah-R)^2\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R}a\times R^2\left(\frac{ah-R}{R}\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{1-\left(\frac{ah-R}{R}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Dit kan wat opgeknapt worden tot
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(2ah(R-ah)\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R^2}a\left((ah-R)\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{2ah(R-ah)}+\frac\pi2R\right)
\end{aligned}
$$Als $h=\frac2aR$, ofwel $ah=2R$, dan krijgen we $\frac{ah-R}{R}=1$ en dan is $V(h)$ precies gelijk aan de helft van het volume van de cilinder met straal~$R$ en hoogte $\frac2aR$, dus $V(\frac2aR)=\pi\cdot R^2 \cdot \frac Ra$. Voor $h\ge\frac2aR$ hebben we
$$V(h)=\frac\pi aR^3+\pi\cdot R^2\cdot\left(h-\frac2aR\right)=
\pi R^2\left(h-\frac Ra\right)
$$

kphart
13-5-2022


Cilinder

Een blikje wordt tot op 2 cm van de bovenrand gevuld met aarde. Hoeveel cm3 aarde kan er in een blik met als diameter 6 cm en een hoogte van 10 cm? Ze vragen ook de hoogte van de aarde.
Ik snap niet exact hoe het uitgerekend wordt.
Bedankt voor het lezen!

Abdull
29-5-2022

Antwoord

Printen
Voor het eerste deel van je vraag zou ik zeggen dat het gaat om het volume van de aarde beschouwd als een cilinder met een diameter van 6 cm en een hoogte van 8 cm. Dat gaat zo:

$
\eqalign{
& I_{cilinder} = G \cdot h \cr
& G = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \cr
& h = 8 \cr
& I_{cilinder} = 9\pi \cdot 8 = 72\pi \cr}
$

In het blikje kan ongeveer 226 cm3 aarde.

Het tweede deel van je vraag begrijp ik niet helemaal. De hoogte van de aarde is 8 cm toch? Dus ergens klopt er iets niet...

OI heb ik iets gemist? Lukt het zo?

WvR
30-5-2022


Re: Cilinder

over de cilinder vraag is dit het hele vraag alvast Conservenblikjes worden vaak als bloempotje gebruikt. Het blikje wordt dan tot op 2 cm van de bovenrand gevuld met aarde.
Hoeveel cm3 aarde kan er in een conservenblik met als diameter 6 cm en een hoogte van 10 cm?
De hoogte van de aarde = cm.
Er kan
cm3 aarde in zo een conservenblik.
ik gebruik de formule :π.r2.h ik kan de antwoord nog niet vinden kunt u me verbeteren en helpen met de vraag als het fout is aub
alvast bedankt om te lezen!

abdull
30-5-2022

Antwoord

Printen
Het antwoord staat volgens mij al bij het gegeven antwoord. Met berekening. Dus wat is er dan niet duidelijk?



$
\eqalign{
& I_{cilinder} = G \cdot h \cr
& G = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \cr
& h = 8 \cr
& I_{cilinder} = 9\pi \cdot 8 = 72\pi \cr}
$

In het blikje kan ongeveer 226 cm3 aarde.

Op Inhoud van een cilinder staat nog een voorbeeld.

WvR
30-5-2022


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3