De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Logica

Re: Deelbaarheid door 11

Beste

Voor een onderzoekscompetentie zou ik graag iets doen met de deelbaarheid van getallen. Ik wilde een bewijs opstellen voor de deelbaarheid van het getal 11. Hiervoor heb ik dan volgende formule gekregen.

Ik heb ondertussen al ondervonden wat een sommaties en modulo zijn maar snap nog de formule nog steeds niet goed. Zou iemand me kunnen helpen aub?

Alvast bedankt.

PB
14-3-2017

Antwoord

Printen
Als het om onderzoek gaat: hieronder staat een link naar het resultaat van een zoekopdracht, op wisfaq, naar de frase `deelbaarheid door 11'. Daar kun je heel wat onderzoek mee doen.

Zie Zoeken op wisfaq naar `deelbaarheid door 11'

kphart
15-3-2017


Bewijs met behulp van gevalsonderscheid

Beste,

Er moet een bewijs worden gegeven (m.b.v. gevalsonderscheid) voor: |x + y| $\le$ |x| + | y|, waarbij je gebruik moet maken van -v $\le$ u $\le$ v als geldt |u| $\le$ v.

Dit is het gegeven antwoord van het correctiemodel:
1. Er geldt altijd |x| $\le$ |x| als x (en y) willekeurig zijn.
2. Vanwege "-v $\le$ u $\le$ v als geldt |u| $\le$ v", geldt dat −|x|$\le$x$\le$|x|.
3. Hetzelfde geldt dan ook voor y: −|y|$\le$ y$\le$|y|.
4. Vergelijking 2 en 3 optellen geeft: −|x|−|y|$\le$x+y$\le$|x|+|y|. Dit wordt met behulp van "-v $\le$ u $\le$ v als geldt |u| $\le$ v" herschreven als |x+y|$\le$||x|+|y||.
5. Omdat |x|+|y|$\ge$0 geldt ||x|+|y||=|x|+|y|.
6. Dus geldt er: |x+y|$\le$x|+|y|.

Ik snap het bewijs in zijn geheel niet en zou graag hulp willen. Alvast bedankt.

Groeten,

Arjan

Arjan
14-4-2017

Antwoord

Printen
Je stappen zijn grotendeels correct; hier en daar kan het wat beter.
Wat je moet gebruiken is in feite een equivalentie: $|u|\le v$ geldt dan en slechts dan als $-v\le u\le v$ (dat volgt uit de definitie van $|x|$ als $\max\{-x,x\}$).
Stap 1: er geldt $x\le|x|$ en dus $-|x|\le x\le |x|$
Stap 2: er geldt $y\le|y|$ en dus $-|y|\le y\le|y|$
Stap 3: tel stappen 1 en 2 op: $-|x|-|y|\le x+y\le|x|+|y|$
Stap 4: haakjes: $-|x|-|y|=-(|x|+|y|)$
Stap 5: conclusie: $-(|x|+|y|)\le x+y\le|x|+|y|$
Stap 6: met $u=x+y$ en $v=|x|+|y|$ volgt nu uit stap 5 en de gegeven equivalentie dat $|x+y|\le|x|+|y|$.

Lees het bewijs een paar keer regel voor regel door en overtuig je ervan dat elke stap uit de vorige volgt.
Mijn ervaring is dat het soms een paar keer lezen kost om het echt te begrijpen.

kphart
14-4-2017


Transitieve relatie in een verzameling van n elementen

Hallo, in de cursus staat de volgende vraag: Hoeveel transistieve relaties zijn er in een verzameling van n elementen bij n=1, n=2, n=3? Ik weet niet goed hoe ik aan deze vraag moet beginnen. Als ik wikepedia moet volgen zijn er voor n = 1 elementen 2 transistieve relaties, voor n=2, 13 en voor n=3, 171 transistieve relaties. Maar hoe kom je daar aan?

Robin
10-7-2017

Antwoord

Printen
Zie het onderstaande artikel, gevonden via https://oeis.org/A006905
Zie Transitivity and partial order

kphart
10-7-2017


Natuurlijke getallen rond cirkel, steeds 1 som groter dan 17

Ik ben begonnen aan deze oefening:

Natuurlijke getallen van 1 tot en met 10 zijn geordend in een willekeurige volgorde rond een cirkel. Je kan steeds (dus in een cirkel is er minstens 1 geval) 3 opeenvolgende getallen vinden waarvoor de som groter is dan 17.

Ik heb geen idee hoe ik dit moet bewijzen, want via enkel logisch redeneren geraak ik er niet! Zou iemand mij hier kunnen helpen?

Jan
10-7-2017

Antwoord

Printen
Hallo, Jan.

Weet je zeker dat er staat 'groter dan 17', of staat er 'minstens 17'?
Je kunt de getallen x1 t/m x10 noemen, waarbij x1 een willekeurig getal in de cirkel is, en dan de andere getallen x2, x3, ... , x10 vanaf x1 met de klok mee.
Dan is (x1+x2+x3) + (x2+x3+x4) + (x3+x4+x5) + ... + (x10+x1+x2) gelijk aan drie keer de som van de getallen 1 t/m 10, dat is 165.
Maar als de som van drie opeenvolgende getallen steeds minder dan 17 is, is (x1+x2+x3) + (x2+x3+x4) + (x3+x4+x5) + ... + (x10+x1+x2) hoogstens 160.

hr
10-7-2017


Re: Natuurlijke getallen rond cirkel, steeds 1 som groter dan 17

Hallo, ik volg uw redenering niet zo goed. Is het voldoende om uw redenering als bewijs te zien? Ik had er aan gedacht om de cijfers van 1 tem 10 op te tellen, dit geeft 55. Als we veronderstellen dat alle 3 de groepjes bij optelling kleiner zijn dan 17. Dan krijgen we $<$ 3·17 en daaruit volgt dat er een getal groter dan 4 moet overblijven. Is het voldoende om te zeggen dat dit tegenstrijdig is?

Jan
11-7-2017

Antwoord

Printen
Hallo, Jan.
In de som (x1+x2+x3) + (x2+x3+x4) + (x3+x4+x5) + ... +(x10+x1+x2) wordt x1 drie keer geteld, x2 drie keer geteld, ..., x10 drie keer geteld.
Dus de som is drie keer 55, dat is 165.
Maar als elk der tien termen (x1+x2+x3),(x2+x3+x4),(x3+x4+x5), ... (x10+x1+x2), kleiner dan 17 is, dus hoogstens 16, dan is de som hoogstens tien keer 16, dat is 160.
Dat kan niet, omdat 165 groter is dan 160. Dus moet minstens een van de tien termen groter of gelijk 17 zijn.

PS Men kan zelfs bewijzen dat minstens een van deze tien termen groter of gelijk 18 moet zijn. Het bewijs heeft collega kphart gevonden en op zijn blog gezet.
Zie https://hartkp.weblog.tudelft.nl/2017/07/12/tien-getallen-rond-een-tafel/ .
Het is niet zo dat minstens een van deze termen groter of gelijk 19 moet zijn, want in de cyclus 8 7 3 5 9 4 1 10 6 2 zijn ze alle tien hoogstens 18

hr
11-7-2017


Syllogistiek

Bij syllogisme opgave wordt vaak gebruik gemaakt van de term
"Sommige". Het is onduidelijk of dit inclusief of exclusief "Alle" elementen van een verzameling is.
Het meest voor de hand is om "Sommige" op te vatten als
enkele (minimaal 1) maar niet allemaal. Is dit een correcte aanname ?

Voorbeeld
geen A zijn B, alle C zijn A
Conclusie: sommige B zijn geen C
Is dit Juist/Onjuist?

Het antwoord blijkt Juist te zijn wat verwarrend is omdat
beredeneerd kan worden dat alle B geen C is.

Dirk L
16-7-2017

Antwoord

Printen
Als het onduidelijk is dan is de opgavebundel (of het boek) niet goed geschreven; vantevoren moet afgesproken zijn of `sommige' ook `alle' kan betekenen.
Het is meest gebruikelijk om `sommige' te interpreteren als `er is een' (let wel: `een' en niet `één'; soms benadrukken we dat door te schrijven `er is ten minste één'). En dat is de sleutel tot de oplossing van het vraagstuk.

Teken $A$, $B$ en $C$ als verzamelingen in een Venn-diagram: $A$ en $B$ zijn disjunct en $C$ ligt binnen $A$; dan zijn $B$ en $C$ ook disjunct. De conclusie "alle $B$ zijn geen $C$" is correct. De conclusie "sommige $B$ zijn geen $C$" kan niet getrokken worden want er hoeven geen $B$ te zijn.
Aan de premissen is voldaan als er geen $A$, geen $B$ en geen $C$ zijn, maar dan is aan "sommige $B$ zijn geen $C$" is niet voldaan, want er zijn geen $B$.


kphart
16-7-2017


Re: Syllogistiek

Duidelijke uitleg. Kan aan de hand van een Venn diagram ook het
volgende probleem uitgelegd worden :
Alle P zijn M
Sommige M zijn geen S

Conclusie : Sommige S zijn geen P
Deze conclusie blijkt niet juist te zijn, maar waarom?

Dirk
20-7-2017

Antwoord

Printen
Teken een Venn-diagram met drie ovalen, $P$, $M$, en $S$, die elkaar op alle mogelijke manieren snijden (de cirkels met straal $1{,}5$ om de drie punten $(1,0)$, $(0,1)$, en $(-1,0)$ bijvoorbeeld). De stukken van $P$ die buiten $M$ steken zijn leeg, daar kun je het teken $\emptyset$ in zetten. In de stukken van $M$ die buiten $S$ liggen kun je stippen zetten; die symboliseren de tweede eis. Nu zie je dat de stukken van $S$ die buiten $P$ liggen nog geen stip hebben, zet daar ook $\emptyset$ in. Nu heb je een situatie waarin aan de premissen voldaan is maar niet aan de conclusie.
Als je de punten een label geeft zie je dat je kunt $M=\{0,1\}$, $P=\{0\}$, en $S=\emptyset$ kunt nemen.

kphart
20-7-2017


Wetten van De Morgan

Ik moet de ontkenning van volgende proposities zoeken:

a) Rozen zijn rood en viooltjes zijn blauw.
Mijn ontkenning: rozen zijn niet rood of viooltjes zijn niet blauw.

b) Als er geen hamburgers zijn, neem ik een hotdog.
Mijn ontkenning: Er zijn geen hamburgers en geen hotdogs.

Ik heb me gebaseerd op de wetten van de Morgan. Klopt mijn redenering?
Dank

christ
11-9-2017

Antwoord

Printen
De wetten van De Morgan:

$
\eqalign{
& \neg \left( {P \vee Q} \right) \Leftrightarrow \neg P \wedge \neg Q \cr
& \neg \left( {P \wedge Q} \right) \Leftrightarrow \neg P \vee \neg Q \cr}
$

a) lijkt me dan juist.

Bij b) gaat het om iets anders.

Gebeurtenissen:
$A$: er zijn hamburgers
$B$: ik neem een hotdog

Propositie:
$
\neg A \Rightarrow B
$

Het is me niet helemaal duidelijk hoe je dan aan je conclusie geraakt. De conclusie is juist, denk ik, maar hoe doe je dat dan?

Naschrift

$
\neg \left( {\neg A \Rightarrow B} \right) = \neg A \wedge \neg B
$

WvR
11-9-2017


Bewijs van een equivalentie

Beste,

De vraag is om met behulp van gevalsonderscheid een bewijs te geven voor: −v ≤ u ≤ v als en alleen als |u| ≤ v. Ik weet echter niet hoe ik zo'n bewijs moet aanpakken en hoe ik daarbij te werk moet gaan. Hulp is gewenst.

Alvast bedankt.

Groeten,

Jan

Jan
11-11-2017

Antwoord

Printen
Dit soort bewijsjes komt heel vaak neer op het opschrijven van de definitie en vervolgens herformuleren tot je de gewenste conclusie krijgt.
Bijvoorbeeld: $|u|$ is meestal gedefinieerd als $\max\{u.-u\}$. Dus $|u|\le v$ betekent $\max\{u,-u\}\le v$ en dat betekent weer dat $u\le v$ en $-u\le v$ en de laatste ongelijkheid kun je omschrijven tot $u\ge -v$. Maar nu heb je gevonden dat $u\le v$ en $-v\le u$; dat korten we vaak af met $-v\le u\le v$.
Voor het bewijs van het omgekeerde kun je dit verhaal nagenoeg achterstevoren opschrijven.
Ik zie niet waar gevalsonderscheiding echt nodig is; misschien hanteert je boek een andere definitie van $|u|$.

kphart
12-11-2017


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker