De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Lineaire algebra

Constante bij een matrix optellen

Kan ik een constante bij een matrix optellen?
Bijvoorbeeld:
1 1 2
2 2 3 + 3
2 2 2
En hoe zou ik dit moeten aanpakken? Op andere websites vond ik namelijk verschillende methodes die allemaal anders waren, en ook op andere antwoorden uitkwamen.

Dirk
8-1-2017

Antwoord

Printen
Je kunt een matrix vermenigvuldigen met een constante maar de optelling van een matrix en een constante is niet gedefinieerd. Ik vraag me dan ook af wat je zoal over verschillende methodes gelezen hebt.

MBL
8-1-2017


Cartesisch coördinatenstelsel

hallo,
Op het examen wiskunde krijgen wij ook enkele meerkeuzevragen waarvan 1 vraag is:
(e1, e2 , e3) is een positief georiënteerde basis, dan is:
(-e2, e3, -e1) ...
(e3, -e1, e2) ...
(-e2, e1, e3) ...
(-e3, e2, -e1) ...
de oplossing bij elke basis is dus positief of negatief maar hoe kan ik dit bepalen?
Ik begrijp het niet echt.
alvast bedankt

ruben
8-1-2017

Antwoord

Printen
Je kunt elk stelsel overvoeren in $(e_1,e_2,e_3)$, met een teken. Neem de eerste: $(-e_2,e_3,-e_1)$ is tegengesteld aan $(e_2,e_3,-e_1)$ (minteken weghalen) en die is weer tegengesteld aan $(e_2,e_3,e_1)$ (weer een minteken).
Verder is $(e_2,e_3,e_1)$ tegengesteld aan $(e_3,e_2,e_1)$ (twee vectoren omwisselen) en $(e_3,e_2,e_1)$ is tegengesteld aan $(e_1,e_2,e_3)$ (weer omwisselen).
Kortweg: $(-e_2,e_3,-e_1)=-(e_2,e_3,-e_1)=--(e_2,e_3,e_1)=---(e_3,e_2,e_1)= ----(e_1,e_2,e_3)=(e_1,e_2,e_3)$, dus $(-e_2,e_3,-e_1)$ is ook positief.

kphart
8-1-2017


Inverse matrix

Hallo,

Bij een oefening in ons handboek wordt er gevraagd:
Voor welke waarden van a is de volgende matrix inversiebel?
   a+3 -1  1
A= 5 a-3 1
6 -6 a+4
In een andere topic vond ik al dat je eerst de determinant moet berekenen om zo later uit te drukken dat deze determinant niet gelijk mag zijn aan 0, om zo de waarde van de onbekende te krijgen.

Ik heb de determinant al berekend, maar ik weet niet hoe ik nu verder moet gaan..

Alvast bedankt!

Willia
10-1-2017

Antwoord

Printen
De vergelijking $\det A=0$ oplossen om de slechte waarden van $a$ op te sporen.

kphart
10-1-2017


Matrixvermenigvuldiging

Vraagje over de randen van de matrixvermenigvuldiging.

Als je een vraagstuk moet oplossen, en je zoekt welke matrices moeten vermenigvuldigd worden, moeten de randen dan altijd overeen komen? Ik bedoel hiermee niet de dimensies die natuurlijk moeten kloppen voor de vermenigvuldiging.

Moeten de kolommen van de eerste matrix altijd hetzelfde voorstellen als de rijen van de tweede?

Alle vraagstukken die we gezien hebben zijn zo voor het moment, maar is dit altijd zo?

Alvast bedankt!

Mvg,
Pandolien

Pandol
31-1-2017

Antwoord

Printen
Ik denk dat het bijna klopt wat je zegt. Bij het tweede deel van het voorbeeld op matrixvermenigvuldiging kan je lezen dat de 'betekenis' van de randen wel met elkaar moeten overeenkomen, maar ze stellen wel iets anders voor!

Er stond zoiets als:



Je moet de 'beleggingen' wel vermenigvuldigen met de bijbehorende 'valuta'. Anders heeft de berekening weinig betekenis.



Dat is beter werk!

WvR
31-1-2017


Waarom benaming?

Beste,

Wij zien nu eigenwaarden en eigenvectoren in de klas. Door het oplossen van de karakteristieke vergelijking vinden we de eigenwaarden. Waarom spreken ze in het handboek over 'wortels' van de karakteristieke vergelijking? Mag je niet gewoon over oplossing spreken in plaats van wortel?

Bij voorbaat dank!

Mvg,
Pandolien

Pandol
21-2-2017

Antwoord

Printen
In de wiskunde wordt met de term wortel zowel de wortel van een vergelijking aangeduid, alsook de wortel uit een getal, een rekenkundige bewerking van een getal.

Maar meestal spreken we van oplossingen van een vergelijking. Dus in dat geval is daar niets mis mee.

Zie Wikipedia | Wortel (wiskunde)

WvR
21-2-2017


Snijdende lijnen

Gegeven: de lijnen L:(1,1,0)+a(1,0,1) en M:(4,1,2)+b(0,2,-1)
Gevraagd: de parametervoorstelling van de lijn K door de oorsprong die L en M snijdt.
Oplossing (dacht ik): punt P (op L)=(1+a,1,a) en punt Q (op M)=(4,1+2b,2-b)
De lijn PQ=(Q-P)=(3-a,2b,2-b-a). Deze lijn gaat door de oorsprong (0,0,0).
Hieruit volgt 3-a=0 dus a=3, 2-b-a=0 dus (met a=3) b=-1. Maar 2b=0. Dus wat gaat hier fout?
Het antwoord is: K:c(4,3,1).
Ik kom er niet uit.
Kan iemand mij hiermee helpen?

Alvast dank.
Hans

Hans
12-3-2017

Antwoord

Printen
Je gaat er, ten onrechte, van uit dat de lijnen elkaar snijden, maar dat staat nergens.

De lijn $K$ snijdt $L$ en $M$ maar niet noodzakelijk in hetzelfde punt. Je moet $P$ en $Q$ zo uitmikken dat $O$ op de lijn door $P$ en $Q$ ligt.
Dat kan bijvoorbeeld door de veronderstellen dat $\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OQ}$; dat geeft drie vergelijkingen met drie onbekenden: $a$, $b$, en $\lambda$.

kphart
12-3-2017


Re: Snijdende lijnen

Geachte, de lijnen L en M snijden elkaar niet. Daar ben ik dan ook niet van uitgegaan, zoals u stelt. Zij zijn ook niet evenwijdig. Dat zij elkaar niet snijden en niet evenwijdig zijn, is eenvoudig aan te tonen.
Dus K snijdt L in een punt (P) en snijdt M in een punt (Q). P en Q zijn niet gelijk.

De vergelijking van K is c(4,3,1). Maar hoe kom je daaraan?

Alvast dank.

Hans
14-3-2017

Antwoord

Printen
Uit je vergelijkingen blijkt dat je veronderstelt dat $Q-P=(0,0,0)$ en dat komt neer op $P=Q$, en dat betekent toch echt dat de lijnen elkaar snijden.

Hoe je het wel aan zou kunnen pakken staat in het tweede deel van het antwoord.

kphart
14-3-2017


Re: Re: Snijdende lijnen

Geachte heer, mevrouw Hart,

U heeft inderdaad gelijk. Ik zie nu pas in dat bij mijn oplossingsmethode ik ervan uitga , ten onrechte, dat de L en M elkaar snijden. Dat is dus niet goed want de lijnen snijden elkaar niet. Maar nu weet ik nog niet hoe deze vraag op te lossen.
Als u mij dat zou kunnen uitleggen, dan graag.

Alvast dank voor uw moeite.

Hans
14-3-2017

Antwoord

Printen
Nogmaals: in het oorspronkelijke antwoord staat ook een aanwijzing over hoe je het aan zou kunnen pakken: zorg dat $\overrightarrow{OP}$ een veelvoud van $\overrightarrow{OQ}$ is.
Alternatief: stel een parametervoorstelling op van het vlak door $O$ en één van de lijnen en snij dat vlak met de andere lijn.

kphart
15-3-2017


Matrices

Beste ik zit helemaal vast bij de volgende vraag.

2 Matrices:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & a \\
5 & b \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
c & 2 \\
d & 3 \\
\end{array}} \right)
$

Zoek de onbekende.

Greg
20-3-2017

Antwoord

Printen
Optellen geeft:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & a \\
5 & b \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
c & 2 \\
d & 3 \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{c + 2} & {a + 2} \\
{d + 5} & {b + 3} \\
\end{array}} \right)
$

Maar dan houdt het wel een beetje op, denk ik. Of weet je wat de uitkomst zou moeten zijn? Het is handiger om de volledige opgave in te sturen!

WvR
20-3-2017


Re: Re: Determinanten (5x5 ) matrix

Helaas heb ik een gek van een docent van Inholland die dit wel doet. Ik zie het nut hiervan niet in, maar ja. Ik wil leerkracht worden en geen wiskundige namelijk.

Ik begrijp echter jouw uitleg nog steeds niet en ik word hier wanhopig van. Is het mogelijk dat je mij stap voor stap mee neemt in je uitleg?

In de theorie en lessen die we hebben gehad is een 3x3 matrix het grootste geweest wat we moesten oplossen. Echter op de toets kregen we een opgave waarin we een det moesten uitrekenen van een 5x5 matrix. Ik wist niet hoe ik moest beginnen?

Laten we als voorbeeld deze determinant nemen
$$\begin{vmatrix}1 & 5 & 9 & 2 & 6 \\2 & 6 & 8 & 4 & 2 \\3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\1 & 5 & 3 & 6 & 8\end{vmatrix}$$

P.J.
13-5-2017

Antwoord

Printen
Beste P.J.

Ik veronderstel dat eigenschappen van determinanten in je cursus beschreven worden, zo mag je onder andere een veelvoud van een rij (kolom) bij een andere rij (kolom) optellen. Dit kan je gebruiken om extra nullen te creëren.

Voor het uitrekenen van een determinant kan je dan ontwikkelen naar een rij (kolom) naar keuze: elk element uit die rij (kolom) wordt dan vermenigvuldigd met de cofactor; dit is de determinant die overblijft als je rij en kolom van het betreffende element schrapt, op een factor na die het teken bepaalt.

Wat extra uitleg en voorbeelden vind je bijvoorbeeld hier:

- Determinant 4x4 matrix
- Determinant
- Determinanten (5x5 ) matrix

Ik zet je op weg met jouw voorbeeld. In de eerste kolom kan je gemakkelijk nullen maken, bijvoorbeeld door:
- van de eerste rij, de laatste rij af te trekken;
- van de tweede rij, twee keer de laatste rij af te trekken;
- van de derde rij, drie keer de laatste rij af te trekken.

Dat geeft:
$$\begin{vmatrix}
1 & 5 & 9 & 2 & 6 \\
2 & 6 & 8 & 4 & 2 \\
3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\
0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 6 & 8
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 6 & -4 & -2 \\
0 & -4 & 2 & -8 & -14 \\
0 & -13 & -5 & -13 & -23 \\
0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 6 & 8
\end{vmatrix}$$Door nu te ontwikkelen naar de eerste kolom vallen 4 van de 5 cofactoren (4x4-determinanten) weg, want ze worden vermenigvuldigd met 0. Er blijft er slechts één over en ook daar kan je weer eigenschappen op toepassen om nullen te maken:
$$\begin{vmatrix}
0 & 6 & -4 & -2 \\
-4 & 2 & -8 & -14 \\
-13 & -5 & -13 & -23 \\
5 & 3 & 2 & 5
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & -2 \\
-4 & -40 & 20 & -14 \\
-13 & -74 & 33 & -15 \\
5 & 18 & -8 & 5
\end{vmatrix}$$In deze stap gebeurde het volgende:
- drie keer de laatste kolom bij de tweede optellen;
- twee keer de laatste kolom van de derde aftrekken.

Door nu te ontwikkelen naar de eerste rij vallen 3 van de 4 cofactoren (3x3-determinanten) weg, want ze worden vermenigvuldigd met 0. Er blijft er slechts één over, horend bij het element $-2$; met een extra minteken van de cofactor moet je nu nog het volgende uitrekenen:
$$2 \, \begin{vmatrix}
-4 & -40 & 20 \\
-13 & -74 & 33 \\
5 & 18 & -8
\end{vmatrix}$$En dat is een 3x3-determinant. Je kan die rechtstreeks uitrekenen of je past weer handig eigenschappen toe; bijvoorbeeld:
- trek tien keer de eerste kolom van de tweede af;
- tel vijf keer de eerste kolom bij de derde op;
- ontwikkel nu naar de eerste rij, die bevat maar één niet-nul element, en er rest slechts één 2x2-determinant.

mvg,
Tom

td
13-5-2017


Het oplossen van 2 onbekenden met behulp van lineaire combinaties

Beste meneer/mevrouw

Ik had een vraag over stelsels die ik niet begreep. Het gaat over het oplossen van 2 onbekenden met behulp van lineaire combinaties. Ik heb een foto gestuurd van de cursus zodat jullie de stappen kunnen zien die worden aangeraden om te doen. Heel erg bedankt voor de uitleg die jullie geven aan alle leerlingen die moeite hebben met wiskunde! Nog een fijn weekend gewenst.

Groetjes

erik
26-5-2017

Antwoord

Printen
Hallo Erik,

Ik neem het stappenplan met je door. Het gaat om het oplossen van het stelsel
  2x -3y =  7  |    |    | 
5x -2y = 12 | | |
De aanwijzing 1 (controleer of het stelsel vergelijkingen deze vorm heeft) is voor mijn uitleg niet relevant. Aanwijzing 2 heb ik al opgevolgd: plaats alvast 2 kolommen achter het stelsel.

Dan aanwijzing 3: iets concreter geformuleerd is dit: kies twee getallen waarmee je de vergelijkingen kunt vermenigvuldigen, zodanig dat de getallen voor de x gelijk worden, maar tegengesteld van teken. De genoemde truc werkt altijd:
  • In de tweede vergelijking staat voor de x een 5, dan vermenigvuldig je de eerste vergelijking met 5.
  • In de eerste vergelijking staat voor de x een 2, dan vermenigvuldig je de tweede vergelijking met -2.
Noteer deze getallen in de kolom achter je vergelijkingen, en voer de vermenigvuldiging uit:
  2x -3y =  7  |   5  |     | 
5x -2y = 12 | -2 | |
Je krijgt:
 10x -15y =  35 
-10x + 4y = -24
Vervolgens tel je de vergelijkingen op:
 10x -15y =  35 
-10x + 4y = -24
--------------- +
-11y = 11
Dit levert als oplossing: y = -11/11
y=-1

Hetzelfde voeren we nog een keer uit, maar nu om tegengestelde getallen voor de y te krijgen:
  2x -3y =  7  |    |    | 
5x -2y = 12 | | |
  • In de tweede vergelijking staat voor de y een -2, dan vermenigvuldig je de eerste vergelijking met -2.
  • In de eerste vergelijking staat voor de y een -3, dan vermenigvuldig je de tweede vergelijking met +3.
Noteer deze getallen in de tweede kolom achter je vergelijkingen (de eerste kolom laat ik nu even leeg), en voer de vermenigvuldiging uit:
  2x -3y =  7  |     |  -2 | 
5x -2y = 12 | | 3 |
Je krijgt:
 -4x +6y = -14 
15x -6y = 36
Vervolgens tel je de vergelijkingen op:
 -4x +6y = -14 
15x -6y = 36
--------------- +
11x = 22
Dit levert als oplossing: x = 22/11
x=2

OK zo?

GHvD
26-5-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker