De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Lineair programmeren

Productie gereedschap

Goedenavond,

Het lukt me bij de volgende vraagstelling niet om een doelfunctie te bepalen. Ook lukt het niet om de beperkingen te formuleren. Zou u mij kunnen helpen?
Alvast bedankt.

De opdracht luidt als volgt:

Hamersma produceert gereedschap. Het bedrijf heeft twee productie-locaties, een in Amersfoort en een in Breda. Het bedrijf verkoopt het gereedschap aan drie klanten. De kosten om 1000 stuks gereedschap te maken en deze naar de klant te transporteren zijn gegeven in de tabel.
            k1 k2 k3
Amersfoort 60 30 160
Breda 130 70 170
De klanten 1 en 3 betalen 200 euro per 1000 stuks gereedschap; klant 2 betaalt 150 euro per 1000 stuks gereedschap. Voor het produceren van 1000 stuks gereedschap in Amersfoort zijn 200 arbeidsuren nodig, in Breda kost dit 300 arbeidsuren. Er zijn 5500 arbeidsuren te verdelen over beide locaties. Extra arbeid kan worden ingekocht voor 20 euro per uur. In Amersfoort kunnen maximaal 10000 stuks gereedschap worden gemaakt, in Breda maximaal 12000 stuks. De vraag van de klanten is niet beperkt.
Formuleer op basis van de bovenstaande gegevens een lineair programmeringsprobleem en los dit op.

Anne
12-6-2017

Antwoord

Printen
Hallo Anne,

Ik weet niet zeker of ik de vraag goed begrijp, want ik vind de vraag wat vreemd. Ik doe toch een poging.

Allereerst: voor beide locaties kunnen we de opbrengst berekenen per 1000 stuks, voor de drie klanten. De resultaten staan in deze tabel:
                 k1          k2            k3 
Amersfoort 200- 60=140 150-30=120 200-160=40
Breda 200-130= 70 150-70= 80 200-170=30
Omdat de vraag onbeperkt is, kan de locatie Amersfoort het beste al zijn producten verkopen aan klant 1, en de locatie Breda kan het beste alles verkopen aan klant 2. Zou dit werkelijk de bedoeling van de vraag zijn?

Verder: extra arbeid kost 20 euro per uur. Voor de locatie Amersfoort betekent dit: 20*200=4000 euro extra kosten per 1000 stuks. De winst per 1000 stuks is slechts 140 Euro, dus inhuren van extra arbeid heeft geen zin omdat eventuele extra producten dan tegen verlies worden geproduceerd. Hetzelfde geldt voor Breda: extra kosten per extra 1000 producten zijn 20*300=6000 Euro, winst is slechts 130 Euro, gaan we dus niet doen. Ook hier: zou dit werkelijk de bedoeling van de opgave zijn?

Hiermee wordt het probleem wel een stuk simpeler:
  • Locatie Amersfoort produceert x eenheden van 1000 stuks en verkoopt deze aan klant 1
  • Locatie Breda produceert y eenheden van 1000 stuks en verkoopt deze aan klant 2
Ik vind dit een wat vreemde situatie, maar ik kan de opgaven niet anders lezen.

Vanaf hier kunnen we randvoorwaarden voor een lineair programmeringsprobleem opstellen:

x$\ge$0 (want Amersfoort kan geen negatief aantal producten maken)
y$\ge$0 (idem voor Breda)
x$\le$10 (gegeven)
y$\le$12 (gegeven)

Om x eenheden in Amersfoort te produceren, zijn 200x arbeidsuren nodig. Voor y eenheden in Breda zijn 300y arbeidsuren nodig. Er zijn 5500 arbeidsuren beschikbaar, dus krijgen we nog deze randvoorwaarde:

200x+300y$\le$5500
ofwel:
2x+3y$\le$55

Deze 5 voorwaarden leveren een toegestaan gebied op in de vorm van een rechthoek waarvan het hoekpuntje rechts boven is afgeknipt.

Nu nog de doelfunctie. Het lijkt me logisch dat bedrijf Hamersma de winst wil maximaliseren. In mijn tabelletje is al weergegeven dat een eenheid van 1000 producten uit Amersfoort 140 euro oplevert, voor Breda is dit 80 euro, dus de totale winst is:

W=140x+80y

Dit levert iso-winstlijnen op met een richtingscoëfficiënt van -7/4. Hiermee is de optimale verdeling van x en y te vinden.

Maar nogmaals: het is wat vreemd dat beide locaties alle producten aan één klant verkopen, en dat je dit op bovenstaande wijze eerst zou moeten beredeneren. Ik vraag me af of de vraag zo is bedoeld ....

GHvD
15-6-2017


Re: Productie gereedschap

Hartelijk bedankt voor uw snelle en uitgebreide reactie. Hier kan ik echt wat mee.
Ik zat met hetzelfde probleem. Ik wist niet zo goed wat ik met de andere klanten moest, juist omdat de vraag onbeperkt is. Het is me al een stuk duidelijker geworden.
Nu heb ik de volgende vragen opgelost. Zou u met me mee willen kijken of ik dat op een juiste manier heb gedaan?

1. Hoe verandert de optimale oplossing als de kosten om 1000 stuks gereedschap te maken in Amersfoort en deze naar de klant 1 te transporteren 70 euro zouden bedragen.

Kosten worden 70 euro. Opbrengst wordt dan 130 euro. Amersfoort kiest alsnog voor klant 1. Totale winst wordt dan W=130x+80y. Klopt dit?


2. Als de kosten voor het inhuren van extra arbeid 4 euro zijn, zou Hamersma dan extra krachten inhuren?

Amersfoort: 4x200=800 euro extra kosten per 1000 stuks. Winst per 1000 stuks is 140 euro, dus het heeft geen zin.
Breda: 4x300=1200 euro extra kosten per 1000 stuks. Winst per 1000 stuks is 80 euro, dus het heeft geen zin. Klopt dit?


3. Er is een offerte voor het uitbreiden van de productiecapaciteit in Amersfoort met 5000 stuks. De kosten hiervoor zijn 400 euro. Is het verstandig om dit te doen?

5000 stuks: winst = 140 x 5 = 700 euro
Kosten zijn 400 euro. Het is dus verstandig, want het levert 300 euro op. Klopt dit?


4. Hamersma kan 5 uur extra kunnen inzetten voor arbeid. Wat wordt de nieuwe winst?

Ik heb geen idee hoe ik dit kan berekenen. Kunt u me helpen?

Anne
15-6-2017

Antwoord

Printen
Hallo Anne,

Vraag 1 en 2 heb je volgens mij goed beantwoord. Jouw redenering bij vraag 3 is niet juist. Je vergeet dat je ook arbeidsuren nodig hebt om de extra productiecapaciteit te benutten, en je hebt maar 5500 uren ter beschikking. Dus: als je in Amersfoort meer gaat produceren (x wordt groter), dan kan je in Breda minder produceren (y wordt kleiner) vanwege de randvoorwaarde:

2x+3y$\le$55

Grafisch ziet dit er zo uit:

q84625img2.gif

Je ziet de lijnen die de randvoorwaarden weergeven, het donkere gebied is het oorspronkelijke toegestane gebied. Ik heb ook enkele lijnen van gelijke winst getekend (de iso-winstlijnen). Aan de helling hiervan zie je dat punt A het optimum weergeeft (maximale winst).

Wanneer de productiecapaciteit in Amersfoort wordt uitgebreid van 10000 naar 15000 stuks, komt het lichtgekleurde deel bij het toegestane gebied. Het optimum komt nu in punt B. Je weet dan:

xoptimum=15

Invullen in de vergelijking 2x+3y=55 levert je de y-coördinaat van punt B, deze is minder dan de oorspronkelijke 12. Dit betekent: Breda moet minder produceren (door beperkte beschikbaarheid van arbeid).

Met de coördinaten van B kan je de winst berekenen die bij punt B hoort. Waneer deze winst ten opzichte van de oude winst (punt A) meer is toegenomen dan 400 Euro (de kosten voor de investering), dan heeft het zin om de capaciteit uit te breiden. Volgens mij is dit wel het geval.

Dan vraag 4: Hamersma kan 5 uur extra inzetten voor arbeid. Als ik het goed begrijp, verandert de beschikbare arbeid van 5500 uur naar 5505 uur. Dat schiet niet heel veel op, dus ook hier betwijfel ik of dit echt zo bedoeld is. Maar goed, een beetje helpt dit wel. De randvoorwaarde:

200x+300y$\le$5500

verandert in:

200x+300y$\le$5505

De schuin dalende lijn in mijn figuur schuift een klein stukje op, hiermee worden de coördinaten van snijpunten iets anders en vind je een klein beetje extra winst.

Kan je hiermee verder?

GHvD
15-6-2017


Chicago Steel Corporation (Vwo wiskunde A examen 1993)

CSC (chicago Steel Corporation) is een onderneming die onder andere graafmachines en tractoren maakt. CSC heeft zelf ovens voor de aanmaak van de stalen platen waaruit de diverse onderdelen worden geperst.
Voor de vervaardiging van de stalen platen wordt ijzererts van drie verschillende delfplaatsen I, II en III gemengd. Voor een goede kwaliteit van het mengsel moeten de basiselementen A, B en C in voldoende mate aanwezig zijn. Deze drie elementen komen in het erts van elke delfplaats in verschillende hoeveelheden per ton voor.
In onderstaande tabel kan worden afgelezen:
• het aantal kilogrammen van elk basiselement per ton ijzererts van elke delfplaats.
• het minimale aantal kilogrammen van elk basiselement dat nodig is per ton mengsel.
• de inkoopkosten per ton ijzererts van elke delfplaats.
              aantal kg per         min aant. kg
ton ijzererts uit per ton mengsel
I II III
A 180 300 150 200
B 20 6 16 10
C 90 50 40 60
inkoopkosten
per ton 800 400 600
ijzererts
CSC heeft 54 ton mengsel nodig.
Neem aan dat uit I, II en III achtereenvolgens x, y en 54 - x - y ton erts ingekocht wordt.

Om voldoende van het basiselement A in het mengsel te hebben moet gelden: x + 5y ≥ 90

1. Toon dit aan.

CSC wil de 54 ton mengsel van goede kwaliteit tegen minimale inkoopkosten verkrijgen

2. Stel de andere beperkende voorwaarden op en bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel ton erts van elke delfplaats dan ingekocht moet worden.

3. Onderzoek of een prijsverlaging van het erts uit III van 600 naar 500 voor CSC reden kan zijn om de mengverhouding te wijzigen.

Kim
15-6-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kim,

Zoals je in de spelregels kunt lezen, is het wel de bedoeling dat je aangeeft wat je zelf al hebt geprobeerd of aangeeft waar jouw probleem zit, dan kunnen we je gericht helpen. Je hebt dit niet gedaan, ik ga er dus even van uit dat je de juiste aanpak niet kunt vinden. Ik help je op weg:

Wanneer je x ton erts koopt uit delfplaats I, dan bevat dit 180x kg van basiselement A. Zo bevat y ton uit II 300y kg A, en (54-x-y) ton uit III bevat 150(54-x-y) kg A.
Nodig is 54 ton met minimaal 200 kg A per ton, dus in totaal minimaal 54·200=10800 kg A.

Zodoende moet gelden:

180x + 300y + 150(54-x-y) $\ge$ 10800

Haakjes wegwerken:

180x + 300y + 8100 -150x -150y $\ge$ 10800
30x + 150y $\ge$ 2700
x + 5y $\ge$ 90

Opgave 2 pak je op dezelfde wijze aan, dan voor basisstof B en basisstof C.

Kan je hiermee verder?

GHvD
15-6-2017


Moeilijk vraagstuk

Iemand wil zijn tuin bemesten en heeft daarvoor ten minste 100 kg van product A, 120 kg van product B en 120 kg van product C nodig. Deze producten zijn echter niet in zuivere vorm beschikbaar. In een eerste mengsel verhouden de producten zich als 5:2:1. In een tweede mengsel is de verhouding 1:2:4. Het eerste mengsel kost 15 euro voor 10 kg, het tweede 5 euro voor 5 kg.
  • Op welke manier kan de tuin het voordeligst bemest worden?
Dit is het vraagstuk, ik geraak er maar niet aan uit..

1)
Voor de keuze van de onbekenden heb ik gekozen:
x: mengsel 1 in kg
y: mengsel 2 in kg

2)
Opstellen van het stelsel:
Als doelfunctie heb ik 1,5x+y=0
De restricties zijn:
x + y $\ge$ 100
2/5x + 2y $\ge$ 120
1/5x + 4y $\ge$ 120
8/5x + 7y $\ge$ 340

Ik weet natuurlijk niet of dit juist is...

Dit is als oplossing gegeven:
  • De kostprijs is minimaal bij gebruik van 8 zakken (=80kg) van mengsel 1 en 70 zakken (=80kg) van mengsel 2. De kosten bedragen dan 470 euro.
Volgens mij moet dit opgelost worden door de vergelijkingen in de grm te steken en met grafieken en isolijnen de oplossing vinden.

jonath
10-8-2017

Antwoord

Printen
Je kostenfunctie is goed. Dat is een mooi begin, maar je voorwaarden kloppen niet. Je keuze voor $x$ en $y$ bepalen je voorwaarden. Ik heb het zo aangepakt:

Als je $x$ kg van mengsel 1 gebruik dan zit daar $\frac{5}{8}x$ kg van product A in. Als je $y$ kg gebruikt van mengsel 2 dan gebruik je $\frac{1}{7}y$ kg van product A. Dus in totaal gebruik je dan $\frac{5}{8}x+\frac{1}{7}y$ van product A en volgens de gestelde voorwaarden moet gelden:

$\frac{5}{8}x+\frac{1}{7}y\ge100$

Op dezelfde manier krijg je dan uiteindelijk de volgende 3 voorwaarden:

$
\eqalign{
& A:\frac{5}
{8}x + \frac{1}
{7}y \ge 100 \cr
& B:\frac{2}
{8}x + \frac{2}
{7}y \ge 120 \cr
& C:\frac{1}
{8}x + \frac{4}
{7}y \ge 120 \cr}
$

Met de doelfunctie $K=1\frac{1}{2}x+y$ en minimaliseren kom ik uit op $x=80$ en $y=350$.

Zou het jou dan ook lukken? Of moet ik nog meer doen?
Laat maar even weten!

WvR
10-8-2017


Re: Moeilijk vraagstuk

Al heel erg bedankt voor de hulp. :)
Maar ik begrijp nog niet echt hoe je aan de uitkomst komt.
Doe je dit met behulp van een rekenmachine?

Alvast bedankt

jonath
11-8-2017

Antwoord

Printen
Voor het berekenen gebruik ik VGplus (VU-grafiek 2008). Dat is zo handig. Het geeft de oplossing:

q84894img1.gif

...en als je wilt een plaatje:

q84894img2.gif

Maar nu de grafische rekenmachine. Welke GR gebruik je?

WvR
11-8-2017


Re: Re: Moeilijk vraagstuk

Een TI84. Ik ga het eens proberen met de app inequalize die erop staat.

jonath
11-8-2017

Antwoord

Printen
Zoiets als:

q84895img3.gif
q84895img2.gif

Maar daar heb je feitelijk niet eens echt een GR voor nodig... Maak een tekening en loop de hoekpunten af. Feitelijk kan je hier volstaan met twee mogelijke hoekpunten als oplossing. Je moet dan wel bijhouden welke grafiek bij welke voorwaarde hoort. Wanneer zijn de kosten minimaal?

WvR
11-8-2017


Re: Re: Re: Moeilijk vraagstuk

Hoe kom je aan die y= -1.5x + 300?

jonath
12-8-2017

Antwoord

Printen
Dat is de doelfunctie met de kosten. Ik heb (als voorbeeld) $K=300$ genomen. Je krijgt dan de grafiek te zien... Je zou ook $y=-1.5x+\{100,200,300,400,500\}$ kunnen nemen. Dat is nog leuker:-)



Maar niet erg overzichtelijk...

WvR
12-8-2017


Re: Re: Re: Re: Moeilijk vraagstuk

Ik denk dat ik het begrijp, dankjewel :)

jonath
12-8-2017

Antwoord

Printen
Dat is mooi. Op onderstaande verwijzing kan je nog wat FAQ's vinden over lineair programmeren.

Zie FAQ's

WvR
12-8-2017


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker