De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Limieten

Ophopingspunt

He,
Ik had een vraag betreffende ophopingspunten.
Waar/Vals: Een ophopingspunt van een verzameling behoort tot deze verzameling.
Ik ben er reeds achter gekomen dat deze vraag niet correct is, maar de uitleg waarom is me nog niet helemaal duidelijk. Zou iemand me hiervoor een verklaring kunnen geven aub.

JefVer
5-1-2017

Antwoord

Printen
Zoiets doe je met een tegenvoorbeeld: een verzameling $A$ maken met een ophopingspunt $x$ dat niet in $A$ ligt.
Bijvoorbeeld: $A=(0,1)$, het open interval, en $x=0$.

kphart
5-1-2017


Limiet van de absolute waarde van een rij

Ik weet niet goed hoe ik moet starten om het volgende te bewijzen aan de hand van de tweede driehoeksongelijkheid:
'Veronderstel dat Xn een convergente rij is met limiet a. Dan zal ook de rij |Xn| convergeren en limiet |a| hebben.

Alvast bedankt!

Björn
8-1-2017

Antwoord

Printen
Gebruik de definitie en de `omgekeerde' driehoeksongelijkheid:
$$
\bigl||x_n|-|a|\bigr|\le|x_n-a|
$$

kphart
8-1-2017


Vraag rekenregels limieten (oneindig)

de limiet is als volgt:

lim[1/5·(n+1)·((1+3/n)/(1+4/n))2]
met n $\to$ oneindig
Het is duidelijk dat lim[((1+3/n)/(1+4/n))2] naar 1 convergeert en lim[(n+1)] divergeert, dus dat de limiet naar oneindig gaat.

Aangezien lim(n+1) geen reël getal is kun je niet de rekenregels voor limieten toepassen
(lim[(a)(b)]=lim(a)·lim(b)).
Mijn vraag: Hoe kun je dit dan wel netjes aantonen?

Alvast bedankt

oscar
14-1-2017

Antwoord

Printen
Het gaat, zo te zien, om
$$
\lim_{n\to\infty}\frac15(n+1)\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2
$$inderdaad geldt, volgens de rekenregels, dat
$$
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2=1
$$Er is dus een $N$ zo dat voor $n\ge N$ geldt
$$
\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2 \ge\frac12
$$en dus
$$
\frac15(n+1)\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2\ge\frac1{10}(n+1)
$$Nu kun je via de definitie van $\lim_nx_n=\infty$ laten zien dat de limiet $\infty$ is.

kphart
14-1-2017


Asymptoten en limieten

Bij twee functie onderzoeken moeten wij de asymptoten berekenen door limieten.Ik zit echter bij twee vast?
1) Limiet naar -oneindig van (x.e-x)
2) Limiet naar -oneindig van (x2.e-x)
3) Limiet naar +oneindig van (x2.e-x)
Als iemand dit zou kunnen uitleggen en de tussenstappen tonen zou dat heel leuk zijn!
Alvast bedankt!

Yana
18-1-2017

Antwoord

Printen
Hallo

1) Schrijf de functie als x/ex
Als x gaat naar -$\infty$, wordt de teller ook -$\infty$, en de noemer nadert naar 0 langs de positieve kant (zie expon. functie).
De limiet wordt dus -$\infty$

2) Schrijf de functie als x2/ex
Als x gaat naar -$\infty$, wordt de teller +$\infty$, en de noemer nadert naar 0 langs de positieve kant (zie expon. functie).
De limiet wordt dus +$\infty$

3) Schrijf de functie als x2/ex
Als x gaat naar +$\infty$, wordt de teller +$\infty$, en de noemer nadert ook naar +$\infty$ (zie expon. functie).
Dit is een onbepaald geval en kan opgelost worden met de regel van d' Hôpital.

Lim x2/ex =(H)
Lim 2x/ex =(H)
Lim 2/ex = 2/+$\infty$ = 0

Ok?

LL
19-1-2017


Convergente rij gaande naar e²

Ik probeerde een oefening iver het uiterekenen van de limiet van een rij te maken.

Oefening luidde: u(n) = (1+ 2/n)n. Ga na of de rij convergent is en bereken de limiet indien mogelijk.Je kan steunen op de gekende limiet voor u(n) = (1 + 1/n)n.

Die gegeven limiet is dus e. Het antwoord op de oefening is e2.

Nu heb ik en tijdlang gezwoegd om te proberen aan te tonen dat (1+ 2/n)n gelijk is aan (1 + 1/n)2n maar slaagde daar niet in.
Om te proberen begrijpen hoe men tot dat antwoord is gekomen heb ik ook geprobeerd om de omgekeerde weg te gaan (misschien was dat gemakkelijker) maar ik kreeg dat (1 + 1/n)2n = (1 + 2/n + 1/n2)n.

Een gelijkaardig probleem heb ik bij dezelfde oefening, voor u(n) = (n+2/n-1)n, waarbij de limiet e3 moet zijn.

Ik heb het idee dat ik ergens een heel domme fout aan het maken ben of misschien rekenregels verkeerd toepas, maar ik zit in ieder geval vast.

Linde
6-2-2017

Antwoord

Printen
Je kunt een paar dingen doen:

1. laten zien dat
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{2n}
$$dat is niet hetzelfde als wat jij probeerde (laten zien dat de termen gelijk zijn). Je kunt het verschil schrijven als
$$
\left(1+\frac2n\right)^n\left[\left(1+\frac1{n^2+2n}\right)^n-1\right]
$$Je kunt laten zien, met wat werk, dat het gedeelte tussen $[]$ limiet nul heeft.

2. Je kunt een substitutie toepasen: $n=2k$, dan komt er
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^{2k}=e^2
$$(ik denk dat dat de bedoeling is).

Je tweede limiet kun je schrijven als
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{n-1}\right)^{n-1+1}
$$met toepassing van rekenregels kun je daar $e^3$ van maken.

kphart
6-2-2017


Limiet 10

Ik heb enkele opgaven in mijn cursus. Echter vermoed ik dat ze iets vergeten zijn bij 1 oefening:

Lim (x$\to$-2) 1/(x+2)2 = $\infty$
Hier staat niet bij linker of rechterlimiet en de limiet zelf bestaat toch niet?

Een andere voorbeeld dat ik wel begrijp is:

Lim (x$\to$2) (x-2)/(x2-4x+4) = (x-2)/(x-2)(x-2) = 1/0 = -$\infty$

Omwille van de linkerlimiet.

Is de eerste opgave correct en zo ja waarom?

Alvast bedankt voor jullie hulp

Ruud
23-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Ruud,

Had je opgemerkt dat door het kwadraat de linker- en rechterlimiet hetzelfde zijn?

Pas trouwens op met "1/0" op te schrijven zoals je in je tweede voorbeeld doet, "1/0" is immers niet echt iets en is het niet "0/0"?

Groet,

FvL
23-2-2017


Re: Limiet 10

Hallo,

Alvast bedankt voor uw reactie.
Bljkbaar is er bij mijn 2de opgave het '$<$'-teken weggegaan.
Het is toch (x-2)/[(x-2)(x-2)] = 1/(x-2) =1/(2-2)). dus het de linkerlimiet is -‡ en de rechterlimiet zou +‡ zijn.

Deze situatie komt eigenlijk ook voor in de eerste opgave. (-2+2) = 0 dus is -2 toch een verticale asymptoot?

Of zit ik er helemaal naast?

Bedankt voor je advies

Ruud
23-2-2017

Antwoord

Printen
Nee, je zit er niet naast.

Ik schreef "pas op" omdat 1/0 niet echt een antwoord is, maar ook omdat je schreef dat (x-2)/(x-2)(x-2) gelijk is aan "1/0" - maar die is nog "0/0"! De tussenstap naar 1/(x-2) is wel fundamenteel :). Maar dat had je wel gezien.

Groet,

FvL
23-2-2017


Re: Re: Limiet 10

Inderdaad, het wordt dus niet geschreven als 1/0. Om even terug te komen op de vraag waar ik niet helemaal aan uit kan:

lim x$\to$-2 1/(x-2)2.

Hoe bereken je dit dan aangezien het toch ook '1/0' gaat worden?

Groeten

Ruud
23-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Ruud,

Als $x\lt-2$ dan is $\eqalign{\frac{1}{(x-2)^2}}$ positief, dus wordt het $+\infty$.
Als $x$>$-2$ is $\eqalign{\frac{1}{(x-2)^2}}$ ook positief, dus wordt het ook $+\infty$.

Okay?

Groet,

FvL
23-2-2017


Limiet exp functie

Ik moet het afgeleide getal vinden via de limiet van de functie f(x)=ex in het punt (0,1). Dat is dus limiet h gaande naar nul van f(0+h)-f(0)/h en dan kom ik op volgende limiet:

limiet voor h gaande naar 0 van (eh-1)/h maar die geeft de onbepaaldheid 0/0 en ik weet niet hoe ik dan verder moet zonder hopital regel.

Arne D
28-2-2017

Antwoord

Printen
Dat is eigenlijk een lastig probleem. Het hangt helemaal van de definitie van $e^x$ af (en dan bedoel ik een echte definitie).
Sommige boeken definiëren $e^x$ als de functie die zijn eigen afgeleide is en in $0$ de waarde $1$ aanneemt, dan geldt
$$
\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1
$$
per definitie (flauw maar waar).

Andere boeken definiëren
$$
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
$$dan kun je bewijzen dat deze functie de eigenschappen hierboven heeft en dan volgt dat de limiet dus gelijk is aan $1$.

Weer een andere definitie is als
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
$$dan kun je aantonen dat voor $|x| $<$ 1$ geldt
$$
1+x \le e^x \le \frac1{1-x}
$$en daaruit volgt de waarde van de limiet met behulp van de insluitstelling.

Nog een afspraak: eerst definiëren we
$$
\ln x = \int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t
$$en nemen dan $e^x$ als de inverse functie van $\ln x$; de limiet volgt dan uit de definitie van de afgeleide en de inverse-functiestelling.

Wat je eigenlijk nooit kunt doen is de regel van l'Hopital gebruiken: daarvoor moet je weten wat de afgeleide van $e^x$ is en als je die volgens de definitie gaat bepalen moet je eerst deze limiet uitrekenen (en dan kom je in een cirkelredenering terecht).

kphart
28-2-2017


Limiet logaritmische functie

Ik zit met lim voor x naar + oneindig van
ln(ex-1) -x

Daar kom ik $\infty$ - $\infty$ uit, hoe kom ik aan het resultaat 0?

Vannes
14-3-2017

Antwoord

Printen
Maak van de $x$ eens $\ln(e^x)$ en maak van het verschil één logaritme.

kphart
14-3-2017


Bewijs dat twee limieten gelijk zijn zodra één van de twee bestaat

Gegeven zijn een functie f: $\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ en een punt a $\in\mathbf{R}$. Bewijs dat $lim_{x→a}f(x)=lim_{h→0}f(a+h)$ zodra een van de twee limieten bestaat.

Tot nu toe heb ik de definities opgeschreven, dus als $lim_{x→a}f(x)$ bestaat, stel deze gelijk aan b, dan als x$\in$dom(f) en d(x,a)$<$d dan d(f(x),b)$<$e.
En als $lim_{h→0}f(a+h)$ bestaat, stel deze gelijk aan c, dan als h$\in$dom(a+h) en d(h,0)$<$d dan d(f(a+h),c)$<$e.

Mijn volgende stap was om te proberen te bewijzen dat als $lim_{x→a}f(x)$ bestaat $lim_{h→0}f(a+h)$ ook bestaat, en andersom.
Hier liep ik vast.
Om aan te tonen dat ze gelijk aan elkaar zijn wilde ik de driehoeksongelijkheid gebruiken, maar dat lukte ook niet.

Daniqu
26-4-2017

Antwoord

Printen
Dit is niet veel meer dan een vertaling: $\lim_{x\to a}f(x)=b$ betekent
$$
(\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta > 0)(\forall x)\bigl(0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \varepsilon\bigr)
$$
Dit kun je vertalen naar $\lim_{h\to0}f(a+h)=b$
$$
(\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta > 0)(\forall h)\bigl(0 < |h| < \delta \Rightarrow |f(a+h)-b| < \varepsilon\bigr)
$$
door je je te realiseren dat $0 < |h| < \delta$ hetzelfde betekent als $0 < |a+h-a| < \delta$; het enige dat gebeurt is dat de $x$ uit de eerste definitie in de tweede definitie geschreven wordt als $a+h$ (of $x-a=h$).

Uitgaande van het bestaan van de eerste limiet neem je bij gegeven $\varepsilon$ een $\delta$ als daar gegeven. Dan volgt meteen:
als $0 < |h| < \delta$ dan $0 < |(a+h)-a| < \delta$ en dus $|f(a+h)-b| < \varepsilon$.

kphart
26-4-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker