WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limieten

Variabelen in een limiet uitrekenen

Geachte heer,

Ik wou namelijk vragen over een limiet oplossen, waarbij behalve x ook nog andere variabelen zoals a, b en c voorkomen.

In de opgestuurde foto heb ik een uitwerking gezet, echter lukt het me niet om de variabele c te vinden.

Ik heb namelijk alle x-en gedeeld door de x met hoogste macht die in de noemer voorkomt, echter kom ik klem te zitten bij het vinden van variabele c.

Bijvoorbaat dank ik u voor uw medewerking,

Radjan

Radjan
12-1-2025

Antwoord

Het gaat om
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(2a^2-8)x^9+(6+c)x^4+(b-a)x^3}{(b^2-9)x^5+2x^4}
$$
die moet gelijk zijn aan $4$.
Daar moet je inderdaad naar de hoogste machten van $x$ in teller en noemer kijken, maar omdat de limiet een getal tussen $0$ en $\infty$ is moeten die hoogste machten gelijk zijn. Als de hoogste macht in de noemer groter is dan die in de teller is de limiet gelijk aan $0$, en andersom krijg je $\pm\infty$.

Als je naar de teller en noemer kijkt zie je dat de macht $x^9$ weg moet uit de teller en dat daarna $x^5$ weg moet uit de noemer.
Dus moet $2a^2-8=0$ en $b^2-9=0$ gelden. Dan houden we
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(6+c)x^4+(b-a)x^3}{2x^4}=4
$$
over. Deel daarin teller en noemer door $x^4$ en je krijgt je antwoord voor $c$.

Overigens gaat het op je rechterpagina behoorlijk mis: je schrijft dat $b^2-9$ niet gelijk aan nul moet zijn, en toch concludeer je $b=-3$. Daarna probeer je
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(2a^2-8)x^4}{b^2-9}=4
$$
voor elkaar te krijgen maar dat gaat nooit lukken; in ieder geval niet met de $a$ en $b$ die je gevonden hebt wat die leiden tot iets onzinnigs:
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{0x^4}{0}
$$
kphart
12-1-2025

Variabelen in een bestaande limiet uitrekenen

Geachte heer,

ik moet namelijk van een limiet die bestaand is wat eind antwoord betreft,
de variabelen in die limiet uitrekenen.

De berekeningen heb ik gemaakt, echter kom ik klem te
zitten bij het berekenen van een variabele nl. de variabele " b " .

Ik wou u hierbij vragen om uw hulp om zodoende deze variabele " b " op te sporen.

Bijvoorbaat dank ik u voor uw hulp.

Radjan
Radjan
17-1-2025

Antwoord

Nadat je $x^9$ en $x^8$ hebt weggewerkt, met $a=3$, en $c=-1$ of $c=-2$, hou je dus dit over
$$\lim_{x\to\infty}\frac{12x^3-4x+bx^2}{(-d+3)x^3}
$$Wil dit een eindige limiet ongelijk aan $0$ hebben dan moet $d\neq3$; je conclusie $d=3$ is fout, de noemer moet juist ongelijk aan $0$ zijn. Ik begrijp niet waarom je telkens ${}=0$ in de noemer schrijft.

Na wegdelen van $x^3$ wordt de limiet gelijk aan $\frac{12}{3-d}$; als de limiet een gewenste waarde moet hebben kun je daaruit $d$ bepalen. De waarde van $b$ is en blijft hier onbepaald, hij speelt geen rol in de uitkomst van de limiet. Het antwoord hier is dus: $b$ mag elke (vaste) waarde aannemen.

kphart
17-1-2025

L`Hôpital

Geachte,
De opgave is: $\sqrt{}$ (x²+x)-x en limiet van x naar -oneindig.
Volgens mij moet het antwoord zijn (na splitsing) $\infty $ -(- $\infty $ =
$\infty $
Nu wilde ik een andere oplossing proberen door de substitutie x=1÷u met u naar 0 (vanaf de 'negatieve' kant moet daar eigenlijk bij)
limiet van u naar 0: ( $\sqrt{}$ (1+u)-1):u geeft na Hôpital 1:(2 $\sqrt{}$ 1+u)= 0,5 als x nadert vanaf de positieve kant naar 0.
Maar hoe maak je het onderscheid bij Hôpital als x nadert vanaf de positieve of de negatieve kant.
Ik kom hier dus met Hôpital niet aan het antwoord: $\infty $ ???

Hartelijk dank voor uw antwoord!
Diana
Diana
22-1-2025

Antwoord

In je substitutie heb je in de wortel $\frac1{u^2}$ buiten de haakjes gehaald,
dan krijg je
$$\sqrt{\frac1{u^2}(1+u)}=\sqrt{\frac1{u^2}}\cdot\sqrt{1+u}
$$Als $u$ positief is geeft dat inderdaad
$$\frac1u\cdot\sqrt{1+u}
$$maar als $u$ negatief is komt er
$$-\frac1u\cdot\sqrt{1+u}
$$Je nieuwe limiet wordt dus
$$\lim_{u\uparrow0}\frac{\sqrt{1+u}+1}{-u}
$$De teller heeft dan limiet $2$, en de noemer gaat van boven naar $0$, dus de regel van de l'Hopital is hier niet toepasbaar.

De limiet is inderdaad $\infty$, niet dankzij de l'Hopital, maar omdat de uitdrukking groter is dan $-\frac1u$.
kphart
22-1-2025