WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Krommen

Lemniscaat

Een kromme wordt gegeven door de vergelijking in poolcoördinaten:

r= $\sqrt{}$cos(2$\theta$)).

Ik heb deze vergelijking kunnen omvormen naar de cartesische vorm:

x²+y²=$\sqrt{}$(x²-y²).

Maar weet niet hoe je de punten met een horizontale raaklijn en de punten met een verticale raaklijn hiervan zoekt? Via grafische weg denk ik dat de kromme eruitziet als een oneindig teken door de oorsprong?
Alvast veel dank,
Marc
1-1-2024

Antwoord

Het kan op twee manieren: impliciet differentiëren of de parametrisering gebruiken.

Om met de tweede te beginnen: we hebben
$x(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\cos\theta$ en
$y(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\sin\theta$.
Voor een horizontale raaklijn moet gelden $y'(\theta)=0$ en voor een verticale
hebben we $x'(\theta)=0$ nodig.
Met wat volhouden vind je
$$x'(\theta)=\frac{(\sin^2\theta-3\cos^2\theta)\sin\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$en
$$y'(\theta)=\frac{(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\cos\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$Als je $x'(\theta)=0$ oplost krijg je $\sin\theta=0$
of $\sin^2\theta=3\cos^2\theta$. De laatste leidt tot punten
met $x^2-y^2=x^2-3y^2$ en dat is negatief en valt dus af; blijft over
$\sin\theta=0$ en dus $y=0$. Stop dat in $x^2+y^2=\sqrt{x^2-y^2}$.

Uit $y'(\theta)=0$ haal je $\cos\theta=0$ (dus $x=0$) of
$\cos^2\theta=3\sin^2\theta$, dat geeft $\tan\theta=\pm\frac1{\sqrt3}$,
met bekende hoeken $\pm\frac\pi6$ en $\pm\frac{5\pi}6$.
Invullen geeft de gezochte punten.
Alternatief: dit geeft ook $x^2=3y^2$, stop dat weer in de vergelijking en los
op naar $y$ of $x$.

Het tweede doet alsof $y$ een functie van $x$ is (of andersom)
en differentieert dan.
Eerst even kwadrateren: $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$.
Differentieer naar $x$:
$$2(x^2+y^2)\cdot(2x+2y\cdot y')=2x-2y\cdot y'
$$omwerken geeft
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(1-2(x^2+y^2))}{y(1+2(x^2+y^2))}
$$Evenzo
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{y(1+2(x^2+y^2))}{x(1-2(x^2+y^2))}
$$Door $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ te stellen vind je $x=0$
of $x^2+y^2=\frac12$ en beide kun je in de vergelijking stoppen met resultaten
$y^4=-y^2$, en $x^2-y^2=\frac14$.

En $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0$ geeft alleen $y=0$.

Zie ook Lemniscaten in Pythagoras.

kphart
1-1-2024

Parameterkromme

Beschouw de familie krommen met parametervergelijkingen
x(t)= t³ - m.t
y(t)= t²

1) Voor welke waarden van m maakt de kromme een lus?
2)Indien de kromme een lus vertoont, situeer dan het punt waar ze zichzelf snijdt.
3)Bepaal de verzameling van alle punten met verticale raaklijn aan deze familie krommen.

Maxenc
26-3-2024

Antwoord

1) maak een paar plaatjes en je zult zien dat je een lus krijgt als $m > 0$; en ook: als $m < 0$ dan is $x$ strict stijgend dus zijn er geen verschillende $t_1$ en $t_2$ die hetzelfde punt opleveren. Verder, omdat $y(t_1)=y(t_2)$ alleen kan als $t_2=-t_1$ vind je ook zo dat $m$ positief moet zijn, want $x(t_1)=x(-t_1)$ levert $x(t_1)=0$ en dus $t_1=0$ of $t_1^2=m$.
2) Zie 1); het punt is $(0,m)$
3) bekijk waar de afgeleide van $x(t)$ gelijk is aan $0$.
kphart
26-3-2024