De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Krommen

Kromme tot parabool

K, p, q, r: p(x-4)r-(y-p)2/(q-1)=q
Voor welke waarde(n) van p,q en r is K, p, q, r een parabool?
Moet je dan herschrijven tot y=x2?

jan
1-1-2017

Antwoord

Printen
Als $r=1$ dan staat er
$$
p(x-4)=\frac{(y-p)^2}{q-1}-q
$$dit is alleen zinvol als $q\neq1$; als ook nog $p\neq0$ dan kun je er dit van maken
$$
x=\frac{(y-p)^2}{p(q-1)}+\frac{4-q}{p}
$$Dat is de vergelijking van een liggende parabool.

kphart
1-1-2017


Re: Kromme tot parabool

Aha bedankt. Als ik het echter zou willen als een staande parabool en dan het kwadraatje bij de x zou willen hebben, zou dat mogelijk zijn? Ik heb wat zitten herschrijven maar ik krijg steeds een wortel.

jan
2-1-2017

Antwoord

Printen
Dat kan, maar dan moet je $r=4$ nemen en $q=0$ anders raak je die wortel niet geheel kwijt.
$$
p(x-4)^4=-(y-p)^2
$$Als je $p$ dan nog negatief neemt, zeg $p=-a$ met $a$ positief, kunt je er
$$
y+a = \pm\sqrt a(x-4)^2
$$van maken.

kphart
2-1-2017


Raaklijn waar kromme zichzelf snijdt

Kromme met vergelijking r =tan(theta/2) : zoek de RC van de raaklijn in het punt waar de kromme zichzelf snijdt.
Ik weet dat de RC voor de raaklijn = y'(theta)maar hoe vind ik dat punt waar ik de raaklijn moet hebben?

Arne D
3-1-2017

Antwoord

Printen
Zie onderstaande link naar een vraag over dezelfde kromme.
Met $x=\tan\frac\theta2\cdot\cos\theta$ en $y=\tan\frac\theta2\cdot\sin\theta=2\sin^2\frac\theta2$ kun je een $\theta$ bepalen zo dat $\theta$ en $-\theta$ hetzelfde punt bepalen. Dat is het punt dat je zoekt.

Zie Met poolvergelijking asymptoot zoeken

kphart
3-1-2017


Verticale raaklijn

kromme r=tan(theta/2)
cartesische coordinaat waar raaklijn verticaal is.
Ik weet al dat x' = 0
x = (sin(theta).cos(theta))/(1+cos(theta) omgevormd om makkelijker af te leiden.
x'= cos3(theta)+2cos2(theta)-1 gedeeld door een noemer maar die heb je denk ik niet nodig alleen mag cos(theta) niet -1 zijn.
Ofwel heb ik een fout gemaakt want hoe vind ik u de nulwaarden?

Arne D
3-1-2017

Antwoord

Printen
Je kunt je afgeleide vereenvoudigen tot
$$
\frac{\cos^2\theta+\cos\theta-1}{\cos\theta+1}
$$(want $t^3+2t^2-1=(t+1)(t^2+t-1)$, die noemer helpt dus wel een beetje).
Je kunt nu $t^2+t-1=0$ oplossen, dat geeft je mogelijke waarden voor $\cos\theta$, en dus ook voor $\sin\theta$, en daarmee kun je de $x$- en $y$-coordinaten bepalen (zonder dat je $\theta$ zelf bepaalt).

kphart
4-1-2017


Een cartesische vergelijking omzetten naar poolvergelijking

Hoe kan men een kromme in cartesische vergelijking, in de vorm van bv. de lemniscaat van Bernoulli (x2+y2)2=2a2(x2-y2), omzetten naar een poolvergelijking? Aangezien de formule normaal gezien dit is:

x=rĚcos(t)
y=rĚsin(t)

Maar in dit geval is er geen r.

Alvast bedankt

Denis
6-1-2017

Antwoord

Printen
Beste Denis,

Uit die overgangsformules volgt ook $x^2+y^2=r^2$. Verder kan je ook $x^2-y^2$ vereenvoudigen:
$$x^2-y^2=r^2\left(\cos^2t-\sin^2t\right)=r^2\cos(2t)$$waardoor de poolvergelijking wordt:
$$(r^2)^2=2a^2r^2\cos(2t) \to r^2=2a^2\cos(2t)$$mvg,
Tom

td
6-1-2017


Oppervlakte tussen krommen

Ik heb een vraag ivm met het berekenen van een oppervlakte tussen krommen. Meer bepaald: ik heb een kromme (r=f(o)=2cos(o/2)) en een cirkel x2 + y2=1.
Ik weet hoe je de snijpunten van beide berekent en bij deze kom ik uit: 2$\pi$/3 en -2$\pi$/3.
Maar nu zit ik vast... Men vraagt het oppervlak van het gebied binnen de kromme en buiten de eenheidscirkel. Moet ik dit doen adh van de integraal specifiek voor een oppervlakte met poolcoordinaten?
Alvast bedankt!

Emma
22-1-2017

Antwoord

Printen
Ja, je moet alles in poolco÷rdinaten doen:
$$
\int_{-\frac23\pi}^{\frac23\pi}\int_1^{2\cos\frac12\alpha}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\alpha
$$

kphart
22-1-2017


Afgeleide astro´de

Voor mijn eindwerk moet ik de astro´de bestuderen.
Mijn vraag hoe kan je de afgeleide van een astro´de berekenen? Ik weet niet hoe ik de y-waarde kan afzonderen uit de formule $
\sqrt[3]{{y^2 }} = \sqrt[3]{{a^2 }} - \sqrt[3]{{x^2 }}
$ op een wiskundige manier.

Ik heb geprobeerd om de afgeleide te berekenen met de formule $
y = \sqrt {\left( {\sqrt[3]{{a^2 }} - \sqrt[3]{{x^2 }}} \right)^3 }
$ maar dit komt niet uit.

Kent iemand de oplossing of kan iemand me verder helpen?

Astrid
30-4-2017

Antwoord

Printen
Het zou wel moeten lukken; schrijf alles eens met machten en exponenten:
$$
y^{\frac23}+x^{\frac23}=a^{\frac23}
$$
en dan
$$
y=(a^{\frac23}- x^{\frac23})^{\frac32}
$$
Nu zou je met de kettingregel een heel eind moeten kunnen komen.

Een alternatief is impliciet differentiŰren, je schrijft $y=y(x)$ en differentieert de vergelijking van de astero´de:
$$
\frac23y(x)^{-\frac13}y'(x) + \frac23x^{-\frac13}=0
$$
Op die manier kun je $y'(x)$ in $y(x)$ en $x$ uitdrukken.

kphart
30-4-2017


Afstand kromme tot een punt

Gegeven de kromme met parametervergelijking
x = cost + cos(7t)/5
y = sin t + sin(7t)/5
en $-\pi\lt t \lt\pi$,
Bepaal exact de kortste afstand ervan tot het punt (18/25, 18/25√3)

Kong
26-5-2017

Antwoord

Printen
De (kortste) afstand tussen 2 punten in een 2D vlak kunnen we vinden door een rechthoekige driehoek te maken waarvan de 2 rechthoekszijden bestaan uit het verschil tussen de bekende co÷rdinaten: stel we hebben de volgende 2 punten $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ dan hebben we dus een rechthoekszijde van lengte $|x_2-x_1|$ parallel aan de $x$-as en een rechthoekszijde van lengte $|y_2-y_1|$ parallel aan de y-as.

Met de stelling van Pythagoras kunnen we nu de afstand tussen 2 punten vinden. De uitdaging bij jou is dat 1 van de punten nu niet vast staat maar een kromme is. Nu staan de lengtes van de zijden van de driehoek dus niet vast, maar zijn deze afhankelijk van de kromme, maar feitelijk doe je hetzelfde.

Als je nu de stelling van Pythagoras toepast krijg je dat de afstand een functie is van $t$ en aangezien je de kortste afstand wilt hebben dien je deze te minimaliseren. Is het zo duidelijk?

Aanvullende hint: als de afstand van de kromme tot het punt minimaal is in $t$, dan is het kwadraat van de afstand daar ook minimaal. Dus: om het punt te vinden kan je ook de kwadratische afstand minimaliseren, waardoor je die 'vervelende' vierkantswortel alvast kwijtspeelt.

MvE
26-5-2017


Kromme met parametervergelijking

Het lukt me maar niet om deze opgave op te lossen...

Gegeven de kromme met als parametervergelijking:

K: x= 2acost-acos2t
y= 2asint+asin2t

1) schets de kromme
2) bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme K in de snijpunten met de y-as.
3) bepaal de oppervlakte van het gebied dat ingesloten word door de kromme K.

Kan iemand me hier bij helpen?

Alvast bedankt.

jonath
28-8-2017

Antwoord

Printen
Beste Jonathan, een paar hints om u op weg te helpen.

1) Bereken (x,y) voor elke gemakkelijke waarde T van t tussen 0 en 2Ěpi. Dat zijn er nogal wat, maar het loont de moeite. Je zult merken dat de tweede helft gemakkelijker is.

1) en 2)
De richtingscoefficient van de raaklijn in (x(T),y(T)) is y'(T)/x'(T); of als x'(T) en y'(T) allebei 0 zijn, kun je de limiet voor t naderend naar T uitrekenen met de stelling van l'Hopital.

3) Als je een goede schets hebt, zul je zien dat je moet uitzoeken voor welke waarden van t1 tussen 0 en $\frac{\pi}{3}$ en voor welke waarden t2 tussen $\frac{\pi}{3}$ en $\frac{\pi}{2}$ geldt dat x(t1) = x(t2).
Als je er dan nog niet uitkomt, kun je verder vragen.

hr
29-8-2017


Re: Kromme met parametervergelijking

Dankjewel voor de hints, maar ik snap niet hoe ik x, y moet uitrekenen voor elke gemakkelijke waarde van T van t. Wat bedoel je precies met T?
Het blijft me vrij onduidelijk hoe ik deze oefening correct kan oplossen.
mvg

jonath
30-8-2017

Antwoord

Printen
Zoals je onder alle mensen bepaalde personen met 'vriend' kunt aanspreken, zo kun je bepaalde 'gemakkelijke' waarden van t met hoofdletter T aangeven. Dit doe ik omdat je soms de limiet moet nemen voor t naderend naar T, namelijk in de gevallen dat je de stelling van l'Hopital moet toepassen. Soms kun je ook een 'vriend' alleen benaderen via andere mensen. Maar l'Hopital komt pas in onderdeel 2) aan de orde. We concentreren ons eerst op onderdeel 1) met a=1.
De gemakkelijke waarden in [0,2$\pi$] zijn hier 0, $\pi$/6, $\pi$/4, $\pi$/3, $\pi$/2, 2$\pi$/3, 3$\pi$/4, 5$\pi$/6, $\pi$, en hun tegengestelden vermeerderd met 2$\pi$.
Bijvoorbeeld, voor a=1 en t=T=$\pi$/6 komt er (x,y) = (x(t),y(t)) = (x(T),y(T)) = (x($\pi$/6),y($\pi$/6)) = (2cos($\pi$/6) - cos(2$\pi$/6),2sin($\pi$/6) + sin(2$\pi$/6)).
En nu moet je zelf aan het werk! Reken de coordinaten van dit punt verder uit, teken het punt in het x,y-vlak en zet er $\pi$/6 bij. Doe hetzelfde voor de andere gemakkelijke waarden van t. Verbind opvolgende getekende punten met vloeiende lijntjes.

hr
30-8-2017


Re: Re: Kromme met parametervergelijking

Ik heb mijn figuur getekend en zal ze doorsturen. Hoe bepaal ik nu de vergelijking van de raaklijn? En de oppervlakte van het gebied?

jonath
30-8-2017

Antwoord

Printen
Goed zo, dit lijkt er al op.
Maar het belangrijke punt (1,0) met T=0 ben je vergeten.
Je kunt de schets hier en daar nog verbeteren.
Nu kijken we eerst even naar de raaklijnen, die zijn ook belangrijk om de schets nog te verbeteren.
De oppervlakte doen we later.
De richtingscoefficient van de raaklijn in een punt (x(T),y(T)) is y'(T)/x'(T) = (2cos(T)+2cos(2T))/(-2sin(T)+2sin(2T)), tenminste als de teller en de noemer van deze breuk niet allebei 0 zijn. Bijvoorbeeld, als T=$\pi$/2 komt er (-2)/(-2)=1. Dus de raaklijn in het punt met T=$\pi$/2 heeft richtingscoefficient 1 en maakt dus een hoek van 45 graden met de x-as. Dat klopt wel aardig met je schets.
Voor T=$\pi$/3 zijn teller en noemer allebei 0. De richtingscoefficient van de raaklijn is dan de limiet voor t naderend naar $\pi$/3 van y'(t)/x'(t), dus de limiet voor t naderend naar $\pi$/3 van (2cos(t)+2cos(2t))/(-2sin(t)+2sin(2t)).
Deze kun je berekenen met de stelling van l'Hopital, ken je die stelling? Er komt √3. Dus de raaklijn in het punt met T=$\pi$/3 heeft richtingscoefficient √3 en maakt dus een hoek van 60 graden met de x-as. Klopt dat met je schets?
Bereken nu op dezelfde manier de richtingscoefficient van de raaklijn in de punten met T=0 en T=$\pi$.
Stuur je de verbeterde schets op?

hr
31-8-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker