De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Inhoud omwentelingslichaam versus manteloppervlakte omwentelingslichaam

Om de formule op te stellen voor de inhoud van een omwentelingslichaam, nemen we eerst benaderend de som van de inhouden van een aantal rechte cilindrische schijven, vervolgens nemen we de som van een oneindig aantal schijven en in de limiet vinden we de formule.

Iets analoog doen we bij de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam. We verdelen het omwentelingslichaam eerst benaderend in een aantal afgeknotte kegels waarna we de som van alle mantelopp berekenen. In de limiet voor het aantal afgeknotte kegels naderend tot oneindig, verkrijg je de formule voor de mantelopp en valt de benadering weg.

Waarom werkt deze tweede formule niet als je het omwentelingsopp benaderend verdeelt in rechte cilindrische schijfjes, daarvan de mantelopp berekent en dan daarvan de limiet neemt voor het aantal cilindrische schijfjes naderend tot oneindig?

M. Ver
19-1-2022

Antwoord

Printen
Het korte antwoord: omdat het voor, bijvoorbeeld, een kegel het foute antwoord geeft: reken maar na.

Het lange antwoord (eigenlijk het korte antwoord maar in andere taal): oppervlakte is geen continue functie. Oppervlakken die heel dicht bij elkaar liggen kunnen heel erg in oppervlakte verschillen, denk aan een glad vel schrijfpapier en een even groot en bijna even dun vel crepe-papier.

Iets dergelijks heb je ook met krommen en lengte: als jij 10 meter loopt en de hele een sleutel aan een kort touwtje ronddraait (om een vinger) dan is de afgelegde weg van de sleutel veel en veel langer dan 10 meter.

kphart
19-1-2022


Moeilijk geval integraal

Goede avond laat,
Normaal geen moeilijkheden met oplossen van integralen maar met deze weet ik niet goed hoe eraan te beginnen. Graag een of meerdere tips met volgende integraal:

I= $\sqrt{}$(x)/(1+$\root 3 \of {}$x)dx

Wel wat gezocht maar ik geraak niet op gang . IK denk dat het echt veel rekenwerk gaat meebrengen om tot een redelijke uitslag te komen.
Nog een goede nacht. Niets is dringend in dit geval. Toch dank voor een verhelderend antwoord.

Rik Le
26-3-2022

Antwoord

Printen
Ik zou $x=u^6$ substitueren:
$$\int\frac{\sqrt{u^6}}{1+\sqrt[3]{u^6}}\mathrm{d}u^6
$$Als je dat uitwerkt komt er
$$\int\frac{6u^8}{1+u^2}\mathrm{d}u
$$en met een staartdeling wordt dat
$$6\int u^6-u^4+u^2-1 +\frac1{1+u^2}\,\mathrm{d}u
$$Dan moet het wel lukken.

kphart
27-3-2022


Booglengte van de parameterkromme

1. In welke tijdsduur wordt de kromme 1x doorlopen?
2. Bereken de booglengte van de parameterkromme
3. Bereken de oppervlakte van een aangeduid gebied.

x(t)= cos(cos (2t)+sin(t))
y(t)= sin(2t)

Alvast Bedankt

Victor
30-3-2022

Antwoord

Printen
Hoever ben je zelf al gekomen?

1. Lijkt me niet zo'n probleem Wanneer beginnen zowel x als y weer aan een nieuwe ronde. Bepalend is uiteindelijk dat altijd geldt sin(t+2$\pi$)=sin(t). Dus moet dat 2$\pi$ zijn.

2. Formule lengte parameterkromme: $\smallint\sqrt{}$(x'(t)2+y'(t)2)dt
Die afgeleide van dat eerste deel is al een lastige. Verder zou ik dan die integraal (van 0 tot 2$\pi$) via Calc menu met je rekenmachine laten berekenen. Dan is de uitkomst volgens mij 10,550431. En als ik de figuur bekijk (5 delen met ongeveer lengte 2) heb ik daar wel vertrouwen in.

3. Ik zou het bovenste deel uitrekenen en dat maal 2.Twee delen van de kromme zijn van belang namelijk: t tussen 0 en 0,25$\pi$ en t tussen 1,25$\pi$ en 1,5$\pi$. Dan volgens de theorie oppervlakte berekenen. Is nog wel een gedoe. Zie link voor voorbeeld.
Zie Oppervlakte bij parameterkromme

jadex
30-3-2022


Primitieve

Beste

Als opgave kreeg ik: Bereken f(3) als $\smallint$f(t)dt=xcos($\pi$x) over het interval [0,x]

Ik denk dat ik eerst f(t) moet bereken, maar dan kom ik 1sin( $\pi$ x) uit en dan zit ik vast...

Alvast bedankt voor uw verdere hulp

Hanne
31-3-2022

Antwoord

Printen
Gebruik de productregel, maar dan correct:
$$
(x\cdot\cos(\pi x))'= (x)'\cdot\cos(\pi x) + x\cdot(\cos(\pi x))'
$$

kphart
31-3-2022


Integraal met substitutie of niet...

Goede avond
Ik ben weer een tijd aan het zoeken naar een oplossing van 2 integralen:
I(1) van dx/{x($\sqrt{}$x2+x+1)}
Weet niet hoe beginnen... dx/x=ln(x) en dan
I(2) van (1+x)/(1+$\sqrt{}$x)
Ik gebruikte x=u2 maar geraak vast in berekeningen.
Wat op weg zetten is genoeg en dan kan ik wel verder, hoop ik. Goede nacht en alvast bedankt.

Rik Le
31-3-2022

Antwoord

Printen
Eerst maar even de tweede:

Stel x=u2 is de juiste start. Dat levert (2u3+2u)/(u+1) du

Nu staartdeling uitvoeren levert 2u2 - 2u + 4 - 4/(u+1)
Dat primitiveren naar u en weer $\sqrt{}$ x terugzetten.

De eerste is nogal wat werk. Ik denk aan een goniometrische substitutie om die wortel kwijt te raken. Wat ik zou proberen is de $\sqrt{}$ (x2+x+1) te herschrijven in $\sqrt{}$ ((x+0,5)2+3/4) = $\sqrt{}$ ((x+0,5)2+a2)

Een dergelijke vorm vraagt om een substitutie van x+0,5 = atan(t) om die wortel weg te krijgen. Ik denk dat dat goed gaat maar de uitwerking is nog wel een heel gedoe.

Met vriendelijke groet
JaDeX

Ontvangen opmerking van KP voeg ik nog toe:

Aan het eind deed ik nog een u=tan(0,5t).
Dat zou in een keer kunnen, omdat tant=2u/(1−u2) via de optelformule, maar het is een gedoe.

jadex
1-4-2022


Re: Integraal met substitutie of niet

Goede avond Jan en KP,
De uitleg van KP ligt een beetje moeilijk en graag nog wat uitleg. Andere oefening (tweede)zonder problemen opgelost.
Goede nacht
Rik

Rik Le
2-4-2022

Antwoord

Printen
We beginnen met
$$\int\frac1{x\sqrt{x^2+x+1}}\,\mathrm{d}x
$$De eerste stap is kwadraat afsplitsen in $x^2+x+1$; dat wordt $\eqalign{(x+\frac12)^2+\frac34}$.
Vervang $\eqalign{x+\frac12}$ door $y$:
$$\int\frac1{(y-\frac12)\sqrt{y^2+\frac34}}\,\mathrm{d}y
$$Je kunt de wortel iets mooier maken door $\eqalign{y=\frac{\sqrt3}{2}z}$ te nemen: dan $\eqalign{y^2+\frac34=\frac34z^2+\frac34=\frac34(z^2+1)}$; er komt
$$\int\frac1{\frac{z\sqrt3-1}2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\sqrt{z^2+1}}
\frac{\sqrt3}2\,\mathrm{d}z
=\int\frac2{z\sqrt3-1}\cdot\frac1{\sqrt{z^2+1}}\,\mathrm{d}z
$$Nu bekijken we deze driehoek:
q93510img1.gif
We substitueren $z=\tan t$.
Dan krijgen we ook $\eqalign{\frac1{\sqrt{z^2+1}}=\cos t}$ en $\eqalign{\mathrm{d}z=\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t}$.
Er komt
$$\int\frac2{\sqrt3\tan t-1}\cdot\cos t\cdot\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t
=\int\frac2{\sqrt3\sin t-\cos t}\,\mathrm{d}t
$$Voor dit soort integralen is $u=\tan\frac12t$ een veelgebruikte substitutie.
q93510img2.gif
Nu krijgen we $\eqalign{\sin\frac12t=\frac u{\sqrt{u^2+1}}}$ en $\eqalign{\cos\frac12t=\frac1{\sqrt{u^2+1}}}$ en door de verdubbelingsformules vinden we
$$\sin t=\frac{2u}{u^2+1},\qquad
\cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad\text{ en }\quad
\tan t=\frac{2u}{1-u^2}
$$Met $t=2\arctan u$ komt er uiteindelijk
$$\int \frac2{\frac{2\sqrt3u}{1+u^2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}}\cdot
\frac2{1+u^2}\,\mathrm{d}u=
\int \frac4{u^2+2\sqrt3u-1}\,\mathrm{d}u
$$De noemer kunnen we ontbinden als $(u+\sqrt3-2)(u+\sqrt3+2)$ en daarmee kunnen we de integraal schrijven als:
$$\int \frac1{u+\sqrt3-2}-\frac1{u+\sqrt3+2}\,\mathrm{d}u
$$De primitieve wordt dus
$$\ln(u+\sqrt3-2)-\ln(u+\sqrt3+2)
$$of
$$\ln\left(\frac{u+\sqrt3-2}{u+\sqrt3+2}\right)
$$Nu terugwerken.
Merk op dat we hebben gezien dat $\eqalign{z=\tan t=\frac{2u}{1-u^2}}$, hiermee kunnen we $u$ in $z$ uitdrukken: we lossen
$$zu^2+2u-z=0 \text{ of } u^2+\frac2zu-1=0
$$op: kwadraat afsplitsen geeft
$$\left(u+\frac1z\right)^2-\frac{z^2+1}{z^2}=0
$$en dus
$$u=-\frac1z\pm\frac1z\sqrt{z^2+1}
$$Omdat $u$ en $z$ hetzelfde teken moeten hebben nemen we
$$u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)
$$Nu nog netjes $\eqalign{z=\frac2{\sqrt3}(x+\frac12)}$ invullen en uitwerken.

NB we hadden de substituties $z=\tan t$ en $u=\tan\frac12t$ in een keer kunnen doen, met behulp van $\eqalign{z=\frac{2u}{1-u^2}}$ en $\eqalign{u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)}$, maar dat is wat onoverzichtelijker. Het zou wel een goede oefening in netjes werken zijn.

kphart
4-4-2022


Re: Re: Integraal met substitutie of niet

Dag Klaas Pieter,
Ik ben zowat overal mee in je redenering
Waar moet ik nu z={(2/√3/(x+1/2)} invullen? Is mer niet heel klaar.
Groetjes
Rik

Rik Le
5-4-2022

Antwoord

Printen
We hebben
$$\ln\left(\frac{u+\sqrt3-2}{u+\sqrt3+2}\right)
$$als primitieve. En we weten dat
$$u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)
$$en ook nog
$$z=\frac2{\sqrt3}\left(x+\frac12\right)
$$Ik zou eerst de laatste gelijkheid in $u$ invullen, en dan de zoverkregen $u$ in de primitieve invullen.
Van beneden naar boven werken dus.

kphart
5-4-2022


Re: Re: Re: Integraal met substitutie of niet

Dag Klaas Pieter ,
Als ik z in u ga stoppen kom ik uit op
u=(1/2√3)(√(4x2+4x+5)-1
Om nu deze functie naar het eerste (bovenste deel te brengen ,heb ik wat telproblemen. Al verscheidene keren opnieuw berekend maar de uitkomst is veel te lang.
Kan U nog wat hulp bieden aub.
Vriendelijke groeten
Rik

Rik Le
11-4-2022

Antwoord

Printen
Ik zie een rekenfout in $u$.
Om te beginnen:
$$z^2+1= \frac43\left(x^2+x+\frac14\right)+1=\frac43(x^2+x+1)
$$dus $\sqrt{z^2+1}=\frac2{\sqrt3}\sqrt{x^2+x+1}$ (ik zie niet waar de $5$ vandaan komt).
Verder:
$$\frac1z=\frac{\sqrt3}{2x+1}
$$en dus
$$u=\frac{\sqrt3}{2x+1}\cdot\left(\frac2{\sqrt3}\sqrt{x^2+x+1}-1\right) =\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt3}{2x+1}
$$en als je dat netjes in de breuk in de logaritme stopt komt er
$$\ln\left(\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt3+(\sqrt3-2)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt3+(\sqrt3+2)(2x+1)}\right)
$$

kphart
12-4-2022


Hoe bepaal je het zwaartepunt van een gegeven kromme?

Hoe bepaal je het zwaartepunt van een gegeven kromme in cartesiaanse coordinaten? Van de kromme -x2 tussen de grenzen 0 en 10 wat is het zwaartepunt en hoe kom je eraan?

Didi
26-4-2022

Antwoord

Printen
Door drie integralen uit te rekenen:
$$M=\int_0^{10}\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x
$$en
$$M_x=\int_0^{10}x\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x
$$en
$$M_y=\int_0^{10}x^2\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x
$$Dan is het zwaartepunt gelijk aan
$$\left(\frac{M_x}M,\frac{M_y}M\right)
$$NB je gaf geen massadichtheid, dus ik heb die constant genomen, met waard $1$; en de $x^2$ komt van de $f'(x)^2$ uit de algemene formule.

kphart
26-4-2022


Re: Re: Re: Re: Integraal met substitutie of niet

Dag Klaas Pieter ,
Een erg moeilijk geval met veel rekenwerk. Vraagt men zulke opgaven ook op een examen en hoeveel tijd heb je dan daarvoor om de oplossing uit te werken op je examen blad?
Vriendelijk groeten en bedankt voor je enorme hulp en je tijd ,nodig om mij verder te helpen.
Nog een fijne avond .
Rik

Rik Le
1-5-2022

Antwoord

Printen
Vroeger zou je dit soort vragen op tentamens tegen kunnen komen. Maar, sinds de opkomst van programma's als Maple, Maxima, Mathematica, en anderen, is het accent verschoven naar het begrijpen van de achterliggende noties aan de hand van eenvoudigere situaties. Daarna kan men meer gecompliceerde problemen met behulp van computeralgebra aanpakken.
Bij werkcolleges zie ik dat studenten heel vaak Wolfram Alpha gebruiken voor de moeilijkere primitieven; als dat met beleid gebeurt is dat prima.

kphart
2-5-2022


Partieel integreren

In voorbeeld 1 wordt als laatst '1/2x21/x' vereenvoudigd tot '1/4x2'. Volgens mij hoort dit via '1/2x2x-1' naar '1/2x' vereenvoudigd te worden.

Matt
30-5-2022

Antwoord

Printen
Er staat:

$
\int {x \cdot \ln (x)\,dx = \int {\ln (x) \cdot x\,\,dx = \ln (x) \cdot \frac{1}
{2}} } x^2 - \int {\frac{1}
{2}} x^2 \cdot \frac{1}
{x}\,dx = \frac{1}
{2}x^2 \ln (x) - \frac{1}
{4}x^2
$
Van die $
\eqalign{{\frac{1}
{2}x}
}$ moet je nog wel de integraal nemen.

$
\eqalign{
& \int {\frac{1}
{2}x^2 \cdot \frac{1}
{x}dx = } \cr
& \int {\frac{1}
{2}xdx = } \cr
& \frac{1}
{4}x^2 + C \cr}
$

Dus ik denk dat het wel klopt...

WvR
30-5-2022



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3