De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Integraal met een wortel in de noemer

Beste,
Ik zit al een enige tijd vast met het volgende integraal:
integraal van: u/(√(u2+5))
Het uiteindelijke oplossing moet √(u2+5) zijn.

hassy
2-1-2017

Antwoord

Printen
Misschien herken je de afgeleide van de wortelfunctie in je functievoorschrift. Althans de noemer doet wel denken aan:

$
\eqalign{f(x) = \sqrt x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt x }}}
$

Dat betekent meestal dat de substitutiemethode wel 's heel handig zou kunnen zijn.

Dat wordt dan:

$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du}
$

Nu is die $2u$ precies de afgeleide van het deel onder het wortelteken:

$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot d(u^2 + 5)} \,}
$

Substitueer nu $u^2+5$ door $t$ en je bent er al bijna.
Zou dat lukken? Anders maar even vragen!

WvR
2-1-2017


Een probleem met lijnintegralen

Ik heb een probleem met het begrip van lijnintegralen
Ik versta de lijnintegraal berekend volgens booglengte ds
dus F(ds)
Je berekent dan de oppervlakte van een hek (de hoogte is F(x,y) de breedte is ds. SO far so good.
Maar in de meeste handboeken gaat men dan over tot een herformulering in de trant van P(x,y)dx + Q(x,y)dy

En hier haak ik af .Want wat bereken je als je Pdx berekent ? of Qdy? Bij dubbele integralen bereken je dxdy
dus het mini-rechthoekje dat je gaat sommeren over de functie. Maar P(x,y)dx? wat bereken je ?

Sommige handboeken suggereren dat P(x,y)dx de projectie op de x-as is. Dat versta ik niet .

Trouwens wat is dan de "projectie op de X-as " plus de projectie op de Y-as

Ik zit dus helemaal in de knoop. Wie helpt?

jan ro
5-1-2017

Antwoord

Printen
Zo te zien heb je wat dingen overgeslagen bij het doorlezen van de stof. Er zijn twee soorten lijnintegralen `in het vlak'.
Gegeven een functie $f$ van (een deel van) $\mathbf{R}^2$ naar $\mathbf{R}$ en een kromme $C$ definieer je
$$
\int_C f\,\mathrm{d}s
$$door een parametrisering $t\mapsto \mathbf{x}(t)$ van $C$ te nemen, met domein $[a,b]$ en dan
$$
\int_a^b f(\mathbf{x}(t))|\mathbf{x}'(t)|\,\mathrm{d}t
$$te nemen. Dat kun je inderdaad als oppervlakte van een gekromd hek interpreteren maar ook als een massa van de kromme $C$ waarbij $f$ dan de massadichtheid is.
De andere lijnintegraal is die van een functie $\mathbf{F}$ van (een deel van) $\mathbf{R}^2$ naar $\mathbf{R}^2$, zo'n $F$ noemt men een vectorveld. De integraal van $\mathbf{F}$ over $C$ wordt genoteerd als
$$
\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}
$$de $\cdot$ staat voor het inwendig product. De definitie is weer met behulp van de parametrisering:
$$
\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{x}(t))\cdot\mathbf{x}'(t)\,\mathrm{d}t
$$De interpretatie is veelal dat $\mathbf{F}$ een krachtenveld is en de integraal is de verrichte arbeid door $\mathbf{F}$ langs $C$.
De coorinaten van $\mathbf{F}$ worden heel vaak $P$ en $Q$ genoemd en
$$
\int_C P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y
$$is een alternatieve notatie voor die integraal.
De integraal $\int_C P(x,y)\,\mathrm{d}x$ is de arbeid die de horizontale component van $\mathrm{F}$ verricht.

kphart
6-1-2017


Riemannsom

Bewijs de benaderingsformule wortel 1 + wortel 2 + wortel 3 + .. wortel n = (2n wortel n)/3 door te steunen op de Riemannsommen van een goed gekozen continue functie op het interval [0,1]. Hoe vind je de functie die je moet gebruiken?

Arne D
8-1-2017

Antwoord

Printen
Probeer het met $\sqrt x$ en de punten $\frac1n$, $\frac2n$, ..., $1=\frac nn$.

kphart
8-1-2017


Re: Riemannsom

Ik heb nu gevonden via de Riemansom dat wortel 1 + wortel 2 + ... + wortel n een bebadering is voor 2nworteln / 3.
Nu moet ik dit controleren voor n=10 n=100 en n= 1000
Is het dan de bedoeling dat voor n=100 of n=1000 ik al die wortels met mijn rekentoestel optel om te zien of dit ongeveer klopt of is er een snellere manier?

Arne D
8-1-2017

Antwoord

Printen
Dat klopt, maar als het goed is heeft je rekenapparaat de mogelijkheid een hele rij getallen in één keer te sommeren. Dan hoef je niet duizend keer de worteltoets in te drukken.
Je zou het ook door een programma als Maple kunnen laten doen.

kphart
8-1-2017


Negatieve waarden voor de natuurlijke logaritme

Hallo Wisfaq!

Ik wil graag de volgende integraal berekenen:

INT[2/(x2 -4)]dx, van 0 tot 1.

INT[2/(x2 -4)]dx=1/2ln(x-2)+1/2ln(x+2).

Volgens mij moet ik schrijven ln(|x-2|). Dan is het antwoord als ik intergreer van 0 tot 1 gelijk aan (-1/2)ln(3) want

1/2[ln(|1-2|)-ln(1+2)]-1/2[ln|0-2|-ln(0+2)]=1/2[0-ln(3)]-1/2[ln(2)-ln(2)]

Is dit juist? Maples geeft als antwoord -arctanh1/2

Groeten,

Viky

viky
12-1-2017

Antwoord

Printen
Beste Viky,

Op het interval [0,1] is ln(x-2) niet gedefinieerd, maar de primitieve is correct als je daar ln(2-x) neemt of, zoals je zelf aangeeft, ln|x-2|.

Je antwoord klopt en is gelijk aan dat van maple; er geldt namelijk:$$\mbox{arctanh}\,x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$en dus heb je met x = 1/2:
$$-\mbox{arctanh}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\ln 3}{2}$$mvg,
Tom

td
12-1-2017


Meervoudige integraal

ik moet een meervoudige integraal oplossen die ik niet zo goed snap: Bereken de drievoudige intergraal van f(x,y,z)=z, met grenzen x2+y2+z2$<$4, x2+y2$<$3z2, x$>$0 en z$<$0. Ik denk dat het met bolcoördinaten moet maar ik snap niet zo goed wat je dan moet doen met de '3z2'

Liselo
14-1-2017

Antwoord

Printen
Ik zou $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$ en $z=\rho\cos\phi$ in die ongelijkheid invullen: dan krijg je
$$
\rho^2\sin^2\phi < 3\rho^2\cos^2\phi
$$ofwel $\tan^2\phi < 3$. Gecombineerd met $z < 0$ kun je hier grenzen voor $\phi$ uit halen.

kphart
14-1-2017


Integreren

Ik moet de functie $\int{}$(ln(x2+y) + 2xex/x2+y)dx integreren. Kan iemand me hierbij helpen? Alvast bedankt.

Randy
17-1-2017

Antwoord

Printen
Je vraag is voor tweeërlei uitleg vatbaar.
Moet je de gegeven integraal uitrekenen, of moet je de functie
$$
F(y)=\int\ln(x^2+y)+\frac{2xe^x}{x^2+y}\,\mathrm{d}x
$$
naar $y$ integreren?
Dat laatste is niet moeilijk want je kunt gebruiken dat
$$
\int F(y)\,\mathrm{d}y=\int\left[\int\ln(x^2+y)+\frac{2xe^x}{x^2+y}\,\mathrm{d}y\right]\,\mathrm{d}x
$$
en de binnenste integraal is met standaardmethoden wel te doen.
Het eerste is een stuk lastiger.
De integraal
$$
\int\frac{2xe^x}{x^2+y}\,\mathrm{d}x
$$
kan niet in elementaire functies worden uitgedrukt.

kphart
17-1-2017


Bepaalde lijnintegraal die de wortel van $\pi$ als uitkomst geeft

$
\int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx}
$

Dupon
6-2-2017

Antwoord

Printen
Once when lecturing in class, Lord Kelvin used the word mathematician and then interrupting himself asked his class: ‘Do you know what a mathematician is?’

Stepping to his blackboard he wrote upon it:
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt\pi
$$
Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, ‘a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.’ Then he resumed his lecture.
Zie Evaluating an integral

kphart
6-2-2017


Integreren

Integraal berekenen van sinx/(1+sinx )

Ik heb al geprobeerd met de verdubbelingsformules en kom dan tot de integraal van ( 2 sinx/2.cosx/2/(sinx/2+cosx/2)2, ho moet ik verder?

Of met de t-formules en kom dan tot integraal van 4t/((1+t)2(1+t2)) Hoe moet ik nu verder?

Vannes
21-2-2017

Antwoord

Printen
Je kunt
$$
\frac{4t}{(1+t)^2(1+t^2)}
$$breuksplitsen en dan alle termen afzonderlijk integreren (zie hieronder).
Alternatief:
$$
\frac{\sin x}{1+\sin x}=\frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2x} = \frac{\sin x}{\cos^2x} -\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x} -\frac{1}{\cos^2x}+1
$$nu staan er allemaal makkelijk te primitieveren functies.
Zie Breuksplitsen

kphart
21-2-2017


Integreren van goniometrische functies

Hoi,

Ik moet de volgende integralen oplossen:
  1. integraal van 1/sin4(x)dx
  2. integraal van √(1-sin(2x))dx
Bij allebei weet ik niet goed hoe ik hieraan moet beginnen.

Alvast bedankt!
Sarah

Sarah
10-3-2017

Antwoord

Printen
Bij de eerste denk ik aan partiele integratie:
$$
\int\frac1{\sin^2x}\cdot\frac1{\sin^2x}dx = \frac1{\sin^2x}\cdot-\frac{\cos x}{\sin x} - \int-2\frac{\cos x}{\sin^3x}\cdot - \frac{\cos x}{\sin x}dx
$$
Bij de tweede denk ik aan een gonioformule: $\cos2x=1-2\sin^2x$ ofwel $1-\cos 2x=2\sin^2x$; via $\sin y=\cos(\frac\pi2-y)$ kun je van $1-\sin2x$ een kwadraat maken.

kphart
11-3-2017


Re: Integreren van goniometrische functies

Primitiveren van 1/sin4(x) gaat veel eenvoudiger als volgt:

1/sin4(x) = (sin2(x) + cos2(x))/sin4(x)
1/sin4(x) = 1/sin2(x) + cot2(x)/sin2(x)

Bedenk nu dat

d(cot(x))/dx = -1/sin2(x)

en je kunt direct zien dat de primitieven zijn

-cot(x) - 1/3·cot3(x) + C

Ripari
12-3-2017

Antwoord

Printen
Dat werkt ook.
Voor hogere machten van $\sin x$ gaat partiele integratie iets gladder:
$$
\int\frac1{\sin^nx}\cdot\frac1{\sin^2x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} - n\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
ofwel
$$
(n+1)\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
Op die manier kun je alles terugbrengen tot de primitieven van $1/\sin^2x$ en $1/\sin x$.

kphart
12-3-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker