WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrie

Sinus

Als je een goniometrische cirkel (dus r=1), daarvan de halve x-as in het vierde kwadrant, verdeelt in drie gelijke stukken, dan trek je van het punt x=2/3 een loodlijn naar boven tot het de cirkel raakt en dan heb je een beeldpunt en van dat beeldpunt treken we een loodlijn naar links tot je de y-as van de cirkel raakt en zo krijg je als je x=2/3 verbindt met het punt dat op de y-as ligt krijg je een driehoek en we noemen alfa de hoek in de driehoek beneden (het dichts bij de x-as), de vraag is wat is sin a?
Freder
5-2-2025

Antwoord

Zie het plaatje

kphart
6-2-2025

Vereenvoudigen?

Hoe kan je dit vereenvoudigen:
cos²a + cos²(2π/3 + a) + cos²(2π/3 -a)
Moet je dit doen met formules (halvering, carnot, som/verschil)
Met som en verschil gaat het zeker maar dit is heel veel rekenwerk en deze vraag is bedoeld om redelijk snel tot een antwoord te komen, het antwoord zou 3/2 moeten zijn.
Raf
5-2-2025

Antwoord

Maak er dit van:
$$
\frac12+\frac12\cos2\alpha +\frac12+\frac12\cos(\tfrac43\pi+2\alpha) + \frac12+\frac12\cos(\tfrac43\pi-2\alpha)
$$
Als je nu de optelformules voor de cosinus toepast en gebruikt dat $\cos\frac43\pi=-\frac12$ zul je zien dat alles wegvalt, behalve de $\frac32$.

Als alternatief: de drie punten op de eenheidscirkel die bij de hoeken $2\alpha$, $2\alpha+\frac43\pi$, en $2\alpha-\frac43\pi$ horen vormen een gelijkzijdige driehoek met de oorsprong als zwaartepunt, dus hun cosinussen tellen op tot $0$ (wel even opmerken dat $\cos(\frac43\pi-2\alpha)=\cos(2\alpha-\frac43\pi)$).
kphart
6-2-2025

Re: Sinus

Hoe kom je daar precies aan?
Freder
6-2-2025

Antwoord

Ik heb al je gegevens in een plaatje gezet. Het punt op de cirkel bij de rechte hoek heeft $x$-coördinaat $\frac23$, dus de $y$-coördinaat is gelijk aan $\sqrt{1-(\frac23)^2}$.
kphart
6-2-2025

Re: Vereenvoudigen?

Ik snap niet zi goed hoe je aanval die 2's komt
Raf
6-2-2025

Antwoord

Via de formule $\cos^2x=\frac12+\frac12\cos2x$. En ook geldt $\cos(x+\frac43\pi)=\cos(x-\frac23\pi)$ want die twee hoeken wijzen naar hetzelfde punt.
kphart
6-2-2025

In elke driehoek heeft men Bewijs!

(a + b) / c = cos 1/2 ( A - B ) / sin 1/2 C;
Ik weet dat a = b cos C + c cos B enz.
Evenzo: sin 1/2 C = Wortel ((s -b) (s -a) / ab )
en: cos 1/2 ( A - B) = cos 1/2 A . cos 1/2 B + sin 1/2 A.sin 1/2 B
Hier kan ik niets mee!?
Johan
6-2-2025

Antwoord

Kijk nog eens naar spelregel 4; het is volstrekt niet duidelijk wat je wilt vragen. Ik zie niet eens een vraag.

Maar goed: ik kan Trigonometry. A very short introduction aanraden over het waarom en hoe van de trigonometrische functies.
kphart
7-2-2025

Re: Sinus

Ja, maar die y coördinaat is dan toch de sinus van het snijpunt met de rechte door de oorsprong met de cirkel (middelpuntshoek ) en niet van alfa ofwel?
Freder
6-2-2025

Antwoord

Zeker, maar ik claimde toch niet dat die $y$-coördinaat de sinus van $\alpha$ is? Uit je vraag begreep ik dat het gaat om de hoek die ik in mijn plaatje $\alpha$ heb genoemd. En de sinus daarvan is overstaande/hypothenusa en dat is $\frac23$ gedeeld door $1$.
kphart
6-2-2025

Re: Bewijs van een uitdrukking

Ben je de 3 niet vergeten bij Simpson?
Gilles
9-2-2025

Antwoord

Nee, zo te zien niet. Geef anders precies aan waar je denkt dat er iets misgaat.
kphart
16-2-2025

Bewijzen

cos2a(1+16cos2a cos²4a)= 2cos²a +16cos^4(2a) cos²4a -cos²8a

Ik heb geprobeerd dit te bewijzen door te beginnnen aan de linkerkant en dan heb ik cos2a vervangen door 2cos²a -1 omdat er in de rechterkant ook alleen maar cos staat, maar hier zit ik vast.
pvn
10-2-2025

Antwoord

Dit lijkt sterk op deze vraag (met wat tikfouten). Het antwoord is: de uitdrukkingen zijn niet gelijk.
kphart
10-2-2025

Simpson

Hoe kan je dit bewijzen door de linkerkant uit te werken met Simpson: 1/(sinx +sin3x + sin5x) =sinx/sin²3x
Armera
12-2-2025

Antwoord

We doen het ondersteboven: $\sin x+\sin3x+\sin5x=\frac{\sin^23x}{\sin x}$.

Stap 1: $\sin5x+\sin x=2\sin(3x)\cos(2x)$ (Simpson)

Stap 2: $\sin x+\sin3x+\sin5x=\sin(3x)(2\cos(2x)+1)$

Stap 3: $\sin(3x)=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)$ en dat is gelijk aan $3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)$; haal $\sin(x)$ buiten de haakjes, er komt $(3\cos^2(x)-\sin^2(x))\sin(x)$

Stap 4: $3\cos^2(x)-\sin^2(x) =2(\cos^2(x)-\sin^2(x))+\cos^2(x)+\sin^2(x)=2\cos(2x)+1$, dus $2\cos(2x)+1=\frac{\sin(3x)}{\sin x}$, vul dat in Stap 2 in.
kphart
14-2-2025

Re: Simpson

Het was de bedoeling om echt te bewijzen vanuit een lid naar keuze bij die oef staat dat je niets mag wijzigen
Armera
16-2-2025

Antwoord

Ik heb niet echt iets veranderd: alles wat ik gedaan heb speelde zich af in de noemer van het linkerlid. Als je wilt kun je alles overschrijven en er breuken van maken.

Bijvoorbeeld stap 2:
$$\frac1{\sin x+\sin3x+\sin5x}=\frac1{\sin(3x)(2\cos(2x)+1)}
$$maar dat maakt het er niet overzichtelijker op.
kphart
16-2-2025

Re: Simpson

Is er geen kortere manier? Carnot, verdubbelingsformules,...
Armera
16-2-2025

Antwoord

Het lijkt me al redelijk kort:

$\sin x+\sin3x+\sin5x=\sin3x\cdot(2\cos2x+1)$
$\sin3x=(2\cos 2x+1)\cdot\sin x$ of $2\cos 2x+1=(\sin3x)/(\sin x)$
combineren en klaar
Probeer zelf maar eens een snellere afleiding te vinden.
kphart
18-2-2025