WisFaq!

Als je een goniometrische cirkel (dus r=1), daarvan de halve x-as in het vierde kwadrant, verdeelt in drie gelijke stukken, dan trek je van het punt x=2/3 een loodlijn naar boven tot het de cirkel raakt en dan heb je een beeldpunt en van dat beeldpunt treken we een loodlijn naar links tot je de y-as van de cirkel raakt en zo krijg je als je x=2/3 verbindt met het punt dat op de y-as ligt krijg je een driehoek en we noemen alfa de hoek in de driehoek beneden (het dichts bij de x-as), de vraag is wat is sin a?
Freder
5-2-2025

Antwoord

Zie het plaatje

kphart
6-2-2025

Vereenvoudigen?

Hoe kan je dit vereenvoudigen:
cos²a + cos²(2π/3 + a) + cos²(2π/3 -a)
Moet je dit doen met formules (halvering, carnot, som/verschil)
Met som en verschil gaat het zeker maar dit is heel veel rekenwerk en deze vraag is bedoeld om redelijk snel tot een antwoord te komen, het antwoord zou 3/2 moeten zijn.
Raf
5-2-2025

Antwoord

Maak er dit van:
\frac12+\frac12\cos2\alpha +\frac12+\frac12\cos(\tfrac43\pi+2\alpha) + \frac12+\frac12\cos(\tfrac43\pi-2\alpha)

Als je nu de optelformules voor de cosinus toepast en gebruikt dat \cos\frac43\pi=-\frac12 zul je zien dat alles wegvalt, behalve de \frac32.

Als alternatief: de drie punten op de eenheidscirkel die bij de hoeken 2\alpha, 2\alpha+\frac43\pi, en 2\alpha-\frac43\pi horen vormen een gelijkzijdige driehoek met de oorsprong als zwaartepunt, dus hun cosinussen tellen op tot 0 (wel even opmerken dat \cos(\frac43\pi-2\alpha)=\cos(2\alpha-\frac43\pi)).
kphart
6-2-2025

Re: Sinus

Hoe kom je daar precies aan?
Freder
6-2-2025

Antwoord

Ik heb al je gegevens in een plaatje gezet. Het punt op de cirkel bij de rechte hoek heeft x-coördinaat \frac23, dus de y-coördinaat is gelijk aan \sqrt{1-(\frac23)^2}.
kphart
6-2-2025

Re: Vereenvoudigen?

Ik snap niet zi goed hoe je aanval die 2's komt
Raf
6-2-2025

Antwoord

Via de formule \cos^2x=\frac12+\frac12\cos2x. En ook geldt \cos(x+\frac43\pi)=\cos(x-\frac23\pi) want die twee hoeken wijzen naar hetzelfde punt.
kphart
6-2-2025

In elke driehoek heeft men Bewijs!

(a + b) / c = cos 1/2 ( A - B ) / sin 1/2 C;
Ik weet dat a = b cos C + c cos B enz.
Evenzo: sin 1/2 C = Wortel ((s -b) (s -a) / ab )
en: cos 1/2 ( A - B) = cos 1/2 A . cos 1/2 B + sin 1/2 A.sin 1/2 B
Hier kan ik niets mee!?
Johan
6-2-2025

Antwoord

Kijk nog eens naar spelregel 4; het is volstrekt niet duidelijk wat je wilt vragen. Ik zie niet eens een vraag.

Maar goed: ik kan Trigonometry. A very short introduction aanraden over het waarom en hoe van de trigonometrische functies.
kphart
7-2-2025

Re: Sinus

Ja, maar die y coördinaat is dan toch de sinus van het snijpunt met de rechte door de oorsprong met de cirkel (middelpuntshoek ) en niet van alfa ofwel?
Freder
6-2-2025

Antwoord

Zeker, maar ik claimde toch niet dat die y-coördinaat de sinus van \alpha is? Uit je vraag begreep ik dat het gaat om de hoek die ik in mijn plaatje \alpha heb genoemd. En de sinus daarvan is overstaande/hypothenusa en dat is \frac23 gedeeld door 1.
kphart
6-2-2025

Re: Bewijs van een uitdrukking

Ben je de 3 niet vergeten bij Simpson?
Gilles
9-2-2025

Antwoord

Nee, zo te zien niet. Geef anders precies aan waar je denkt dat er iets misgaat.
kphart
16-2-2025

Bewijzen

cos2a(1+16cos2a cos²4a)= 2cos²a +16cos^4(2a) cos²4a -cos²8a

Ik heb geprobeerd dit te bewijzen door te beginnnen aan de linkerkant en dan heb ik cos2a vervangen door 2cos²a -1 omdat er in de rechterkant ook alleen maar cos staat, maar hier zit ik vast.
pvn
10-2-2025

Antwoord

Dit lijkt sterk op deze vraag (met wat tikfouten). Het antwoord is: de uitdrukkingen zijn niet gelijk.
kphart
10-2-2025

Periode

Ik snap niet zo goed waarom het kgv van 2 periodes de periode van de somfunctie is. Wat is de logica daarachter?
Drin
12-2-2025

Antwoord

De logica is dat dat kgv een gemeenschappelijke periode van beide functies is.

Als p een periode van f is dan is elk veelvoud van p ook een periode van f; idem als q een periode van g is. Als nu k=\operatorname{kgv}(p,q) dan is k een periode van f en van g en dus ook van f+g.

kphart
12-2-2025

Simpson

Hoe kan je dit bewijzen door de linkerkant uit te werken met Simpson: 1/(sinx +sin3x + sin5x) =sinx/sin²3x
Armera
12-2-2025

Antwoord

We doen het ondersteboven: \sin x+\sin3x+\sin5x=\frac{\sin^23x}{\sin x}.

Stap 1: \sin5x+\sin x=2\sin(3x)\cos(2x) (Simpson)

Stap 2: \sin x+\sin3x+\sin5x=\sin(3x)(2\cos(2x)+1)

Stap 3: \sin(3x)=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x) en dat is gelijk aan 3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x); haal \sin(x) buiten de haakjes, er komt (3\cos^2(x)-\sin^2(x))\sin(x)

Stap 4: 3\cos^2(x)-\sin^2(x) =2(\cos^2(x)-\sin^2(x))+\cos^2(x)+\sin^2(x)=2\cos(2x)+1, dus 2\cos(2x)+1=\frac{\sin(3x)}{\sin x}, vul dat in Stap 2 in.
kphart
14-2-2025

Re: Simpson

Het was de bedoeling om echt te bewijzen vanuit een lid naar keuze bij die oef staat dat je niets mag wijzigen
Armera
16-2-2025

Antwoord

Ik heb niet echt iets veranderd: alles wat ik gedaan heb speelde zich af in de noemer van het linkerlid. Als je wilt kun je alles overschrijven en er breuken van maken.

Bijvoorbeeld stap 2:
\frac1{\sin x+\sin3x+\sin5x}=\frac1{\sin(3x)(2\cos(2x)+1)}
maar dat maakt het er niet overzichtelijker op.
kphart
16-2-2025