De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Getallen

Re: Binaire getallen delen

Hoe kan 1000-101=11 zijn

Raham
6-1-2017

Antwoord

Printen
In het binaire stelsel betekent 1000 het getal 1·23 + 0·22 + 0·2 + 0, dus 8
101 betekent het getal 1·22 + 0·2 + 1, dus 5
11 betekent het getal 1·2 + 1, dus 3
Is het zo duidelijk?

Anneke
7-1-2017


Geldig decimaal getal

Wat is drieduizend honderd in decimaal getal?

de bru
23-1-2017

Antwoord

Printen
Drieduizend en honderd is 3100
Drieduizend keer honderd is 300000

GHvD
23-1-2017


Priemgetallen en wortels

Is de wortel van elk priemgetal boven de 4 irrationaal?

Jasper
7-2-2017

Antwoord

Printen
Beste Jasper,

Ja, inderdaad de (vierkants-)wortel van élk priemgetal (dus ook $\sqrt 2$ en $\sqrt 3$) is irrationaal. Er geldt zelfs nog iets sterkers: als een positief geheel getal $m$ niet een kwadraat is van een geheel getal, dan is zijn wortel irrationaal.

Dit kun je bijvoorbeeld op de volgende manier bewijzen:

We nemen een positief geheel getal $m$ dat geen kwadraat is van een positief geheel getal.

Stel dat $\sqrt m$ rationaal is. Dan kunnen we het schrijven als breuk en wel zo dat de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd is.

Daarmee hebben we positieve gehele getallen $a$ en $b$ met een grootste gemene deler van 1, zodat $\sqrt m = \frac ab$.

Kwadrateren geeft $m = \frac{a^2}{b^2}$.

En nu komt het mooie: de grootste gemene deler van $a^2$ en $b^2$ is nog steeds gelijk aan 1. Dus rechts staat een zo ver mogelijk vereenvoudigde breuk en links staat een positief geheel getal. Dat is alleen met elkaar in overeenstemming als $b^2=1$ en dus als $m= a^2$. Maar dan is $m$ toch een kwadraat van een positief geheel getal. En we hebben een tegenspraak.

Dat betekent dat onze aanname dat $\sqrt{m}$ rationaal is geen stand kan houden.

En het bewijs uit het ongerijmde is rond!

FvL
7-2-2017


Deelbaarheid door 11

Bestaat er een algemeen bewijs voor de deelbaarheid van 11? Ik kom wel zeer veel voorbeelden tegen met getallen maar ben eerder op zoek naar een voorbeeld met onbekende zodat dit concreter is.

PB
8-3-2017

Antwoord

Printen
Ja, en het werk bijna als de negenproef: $10^n=(-1)^n\bmod 11$; hieruit kun je afleiden dat een getal deelbaar is dan en slechts dan als de alternerende som van zijn cijfers dat is:
$$
\sum_{k=0}^na_k10^k = \sum_{k=0}^n(-1)^ka_k \bmod 11
$$ $154$ is deelbaar door $11$ want $4-5+1=0$ en dat is deelbaar door $11$.

kphart
8-3-2017


Re: Deelbaarheid door 11

Nog een mogelijkheid. Verdeel het getal vanaf rechts in 2 tallen Deel deze bij elkaar op Indien deelbaar door 11 is het gehele getal deelbaar door 11.
Voorbeeld : 154 $\to$ 54+1 = 55 dus deelbaar door 11

Jaap v
11-3-2017

Antwoord

Printen
Dat klopt en het bewijs is nagenoeg identiek: $100\equiv1\bmod 11$ en dus $$
\sum_{k=0}^n(a_{2k+1}a_{2k})\cdot100^k\equiv \sum_{k=0}^n(a_{2k+1}a_{2k}) \bmod 11
$$

kphart
11-3-2017


Oppervlakte met pi

De inhoud van een cilinder bereken je met de formule:

I=$\pi$ x r2 x h

r = de straal en h de hoogte. Voor een blik waarvan de hoogte 5 keer zo groot is als de straal, is de formule te schrijven als:

I=p x hq

Hoe reken je exact de p en q uit? Graag wil ik zsm antwoord met berekening! :)

Sophie
13-3-2017

Antwoord

Printen
Hallo Sophie,

Wanneer de hoogte 5 keer zo groot is als de straal, dan geldt dus:

h=5r dus
r=h/5

De formule voor de inhoud wordt dan:

I = $\pi$·(h/5)2·h

Nu nog even 'opschonen' met behulp van de Rekenregels voor machten en je p en q rollen er zo uit!

GHvD
13-3-2017


Tellen vanaf nul

Waarom is er in de wiskunde niet gekozen om vanaf 0 te tellen, ipv vanaf 1? Bij softwareprogrammeren begint men met 0, dus waarom bij wiskunde niet?

Pelle
23-3-2017

Antwoord

Printen
Dat hangt er maar net vanaf in welke getallen verzameling je werkt.
Het kleinste element van de natuurlijke getallen ($\mathbf{N}$) is 0 (althans in Nederland. In Frankrijk en Belgie schijnen ze daar weer anders over te denken.)
De verzameling van gehele getallen ($\mathbf{Z}$) heeft geen kleinste of grootste getal.
De positieve gehele getallen ($\mathbf{Z}$+) beginnen bij 1.
Om over de rationale getallen $\mathbf{Q}$ en de reeele getallen $\mathbf{R}$ en de complexe getallen $\mathbf{C}$ maar te zwijgen.

Iets soortgelijks geldt bij veel programmeertalen, het hangt maar net van het gekozen datatype af wat het kleinste getal is dat je in dat datatype weer kan geven. Het is dus zeker niet zo dat bij programmeren je 'altijd bij nul begint te tellen'.

hk
23-3-2017


Re: Priemgetallen en delers

5x7x8x9 = 2520.
De 2 ben je niet nodig, omdat je 8 al hebt. De 3 heb je niet nodig, omdat je al 9 hebt. De 4 heb je niet nodig, want je hebt al 8. De 6 is een vreemde. Ik weet die zelf ook niet helemaal, maar dat heeft iets met de 9 te maken.

Dit is volgens MIJ de simpelste oplossing. Alleen even aan de 6 denken.

Rob
15-4-2017

Antwoord

Printen
Ook leuk:-)

PS
Die 6 heb je ook al omdat je de 9 hebt (3x3) en 8 (2x2x2) dus het getal is dan zeker deelbaar door 6.

Maar leuk is ie wel... Bekijk het eens van de andere kant:-)

WvR
15-4-2017


Het afgeleide

Van wat is deze formule afgeleid:

$\sum_{k=0}^na_k10^k = \sum_{k=0}^n(-1)^ka_k \bmod 11$

Ik snap wat er staat maar weet niet precies hoe ik hieraan zou komen. Van wat is deze formule afgeleid?

Bedankt op voorhand

PB
18-4-2017

Antwoord

Printen
Dat is uitgelegd in het antwoord op een oude vraag van je. Zie de link hieronder.
Het ultieme begin is dat
$$
10\equiv -1 \bmod 11
$$
En modulo-rekenen respecteert alle rekenregels, dus $10^k\equiv(-1)^k\bmod 11$ voor alle $k$. En de laatste stap is optellen modulo $11$.

kphart
18-4-2017


Vermenigvuldigen met het getal 9

Waarom geeft een vermenigvuldiging van een willekeurig getal (zelfs achter de komma) met het getal 9 altijd als uitkomst het getal negen als je de losse getallen bij elkaar optelt?

9 x 8 = 72 $\Rightarrow$ 7+2 = 9

2345,987x 9 = 21.1113,883 $\Rightarrow$ 2+1+1+1+3+8+8+3 = 45 $\Rightarrow$ 4+5=9

S. Van
6-6-2017

Antwoord

Printen
Dat hangt samen met het bekende feit dat een getal deelbaar is door $9$ precies dan als de som van de cijfers het is. Na vermenigvuldiging met $9$ heb je een negenvoud, dus de som van de cijfers is een negenvoud, de som van de cijfers daarvan is weer een negenvoud. Dit eindigt bij een negenvoud van één cijfer, en dat is $9$ zelf.

Zie Bewijs deelbaarheidsproef van 9

kphart
6-6-2017


Hoe zeg je 240 000 000? Alvast bedankt

Moeilijk ik moet het morgen hebben!

Wert
14-6-2017

Antwoord

Printen
Hallo Wert,
Ik zou zeggen: tweehonderdveertig miljoen.

GHvD
14-6-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker