WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Formules

Wet van Poiseuille, over weerstand bij laminaire stroming

Als student geneeskunde heb ik de wet van Poiseuille geleerd, om de weerstand in een luchtweg te berekenen. De formule luidt:
R = (8 · viscositeit · l) / π · r^4
Hier is R de weestand, viscositeit die van de stromende lucht, l de lengte van de luchtweg en r de straal van de luchtweg.
Mijn vraag is, hoe is deze formule opgesteld? Waar komen de 8 en de machtsverheffing 4 vandaan? Op de universiteit heeft tot dusver niemand het uit kunnen leggen.

Bedankt!
Tabbe
8-1-2025

Antwoord

De Wikipedia-pagina vertelt het verhaal. Ik zie daar overigens nog een parameter: het debiet.

Poiseuille en Hagen leidden de vergelijking experimenteel af; de uitkomsten van de metingen dicteren dan de vorm van de vergelijking. De $8$ zal in dat geval afhankelijk zijn van de gekozen eenheden (met lengte in voeten in plaats van meters komt er iets anders). De vierde macht van de straal komt overeen met het kwadraat van de oppervlakte; dat een grotere oppervlakte een kleinere weerstand oplevert komt niet als een verassing, dat de relatie omgekeerd kwadratisch is misschien wel, misschien niet.

De formule is later door Stokes langs theoretische weg gevonden, zie het kopje Derivation op de Wikipedia-pagina, of lees het artikel van Stokes. Uitgaande van een aantal aannamen komt de formule vrij snel tevoorschijn. De constante $8$ hangt zo te zien samen met een paar primitiveerstappen. De vierde macht zie je aan het eind opduiken: $u_\mathrm{avg}=\pi R^2\cdot\frac12 u_\max=\frac{\pi G R^4}{8\mu}$.
kphart
8-1-2025

Vereenvoudigen

Als je dit moet vereenvoudigen a^(-5/4)bc^(2/3) hoe moet je dat dan doen want er zijn 2 afspraken:

1) géén wortels in de breuken laten staan
2) géén gebroken exponenten laten staan.

Ik heb al geprobeerd maar ik kwam niet verder dan a te vereenvoudigen, maar dan staat er een wortel in de noemer...
Bert
13-1-2025

Antwoord

Om wortels uit de noemer te verwijderen kun je teller en noemer vermenigvuldigen zodat de wortel in de noemer een uitdrukkig wordt zonder wortel.

$\eqalign{
& {a^{ - \frac{5}{4}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{1}{{{a^{\frac{5}{4}}}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{1}{{{{\left( {{a^5}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{1}{{{{\left( {{a^5}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {{a^5}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}}{{{{\left( {{a^5}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{{{{\left( {{a^5}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}}{{{a^5}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{{{a^{\frac{{15}}{4}}}}}{{{a^5}}}b{c^{\frac{2}{3}}} = \cr
& \frac{{\root 4 \of {{a^{15}}} }}{{{a^5}}}b\root 3 \of {{c^2}} \cr} $

Stap voor stap. Je moet maar 's kijken of dat zo lukt.

Naschrift
Ik was vergeten dat er een derde regel is die zegt dat je wortels zoveel mogelijk moet vereenvoudigen. Je krijgt dan:

$\eqalign{
& \frac{{\root 4 \of {{a^{15}}} }}{{{a^5}}}b\root 3 \of {{c^2}} = \cr
& \frac{{{a^3}\root 4 \of {{a^3}} }}{{{a^5}}}b\root 3 \of {{c^2}} = \cr
& \frac{{\root 4 \of {{a^3}} }}{{{a^2}}}b\root 3 \of {{c^2}} \cr} $

Zo komen we er wel...
WvR
14-1-2025

-1

Is (sqrt((1+sinx)/(1-sinx)))^-1 gelijk aan sqrt((1-sinx)/(1+sinx))? Is dit een eig dat de wortel van het quotient tot de macht -1 zo verandert en hoe ebwijs je dit in het algemeen of zijn er voorwaarden?
Drin
12-5-2025

Antwoord

Je hebt eigenlijk :

( $\sqrt{} $ a)^-1 = $\sqrt{} $ (a^-1) = a^(-¹/₂)

En de vorm die hier onder het wortelteken staat is altijd positief, dus geen bestaansvoorwaarde:

^1+sin(x)/_1-sin(x) $ \ge $ 0

Als x = 0, wordt de noemer 1 + sin(0) = 1

LL
12-5-2025

Re: -1

Maar als x=0, dan wordt de noemer toch 0?
drin
13-5-2025

Antwoord

Als x= 0 wordt de noemer 1 + sin(0) = 1
Voor x $\to $ ^{3 $\pi$}/₂ + 2k $\pi$ nadert de breuk naar + $\infty $
LL
13-5-2025