De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Niet-lineaire gewone differentiaalvergelijking

In mijn cursus staat bij de existentie- en uniciteitsstelling van de niet-lineaire gewone differentiaalvergelijking het volgende:
y'(x) = f(x,y(x)).
Kan iemand mij uitleggen hoe ik het rechterlid moet interpreteren want hier snap ik geen knetter van.

jefver
6-1-2017

Antwoord

Printen
Dat is ongetwijfeld op college uitgelegd: $f$ is een functie van twee variabelen, $x$ en $y$, en als $y$ een functie van $x$ is kun je $y(x)$ op de plaats van $y$ in $f(x,y)$ invullen en zo een functie van alleen $x$ maken.
Bijvoorbeeld als $f(x,y)=e^{x^2+y^2}$ en $y(x)=\sin x$ dan krijg je na dat invullen $e^{x^2+\sin^2x}$

kphart
6-1-2017


Afgeleide van een vierkantswortel onder de breuk

Geachte,

Ik zou graag een uitwerking met de verschillende stappen bekomen bij het uitwerken van de volgende afgeleide.

x/((225+x2)1/2)

Ik weet dat de uitkomst = 225/((225+x2)3/2)
Maar ik geraak niet aan dit antwoord en zou graag zien waar mijn fout zit.

Alvast bedankt voor de moeite !
Mvg

Arne C
21-1-2017

Antwoord

Printen
Je kunt twee dingen doen:
$$
\frac{x}{\sqrt{225+x^2}}
$$differentiŽren volgens de quotiŽntregel, of de breuk schrijven als
$$
x\cdot(225+x^2)^{-\frac12}
$$en de productregel gebruiken.
In beide gevallen moet je bij de wortelvorm de kettingregel even gebruiken:
$$
\bigl(\sqrt{225+x^2}\bigr)' = \frac12(225+x^2)^{-\frac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{225+x^2}}
$$of
$$
\bigl((225+x^2)^{-\frac12}\bigr)' = -\frac12(225+x^2)^{-\frac32}\cdot2x = -\frac{x}{(225+x^2)^{\frac32}}
$$In beide gevallen krijg je te maken met een verschil dat je nog moet uitwerken; in het eerste geval in de teller van het resultaat van de quotiŽntregel:
$$
\sqrt{225+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{225+x^2}}
$$vermenigvuldig in de eerste term de teller en noemer met $\sqrt{225+x^2}$, dan gaat het aftrekken makkelijk.

kphart
21-1-2017


Differentialen

Ik heb de differentiaal: t(dx/dt) + 4x = -6tx2
Ik moet nu laten zien dat dit door y=1/x gelijk is aan t(dy/dt)=4y+6t.
Kan iemand me hierbij helpen? Ik heb geen idee hoe ik hieraan moet beginnen.

Dank u

Emma
23-1-2017

Antwoord

Printen
Invullen! $x$ en $y$ zijn functies van $t$ en $x(t)=1/y(t)$ (en andersom):
$$
t\cdot\frac{d}{dt}\frac1{y(t)}+\frac4{y(t)}=-6t\frac1{y(t)^2}
$$Nu $1/y(t)$ naar $t$ differentiŽren, mbv de kettingregel, en alles netjes uitwerken.

kphart
23-1-2017


Homogeniteit productiefunctie

Gegeven is een productiefunctie q = a [bq1...-a + (1-b)q2...-a]^(-1/a)

Gevraagd is de homogeniteit en controle adhv de stelling van Euler.

De oplossing is 1.

Om de homogeniteit te bepalen heb ik een k voor de a geplaatst en vervolgens -ka in de macht vermenigvuldigd met -(1/ka). Hiermee verdwenen de -ka in de machten maar ik veronderstel dat dit niet de juiste manier is.

Via Euler moet het dan op deze manier:
dq/dq1 ∑ q1 + dq/dq2 ∑ q2 ?

Bedankt voor de hulp.

J-C
19-2-2017

Antwoord

Printen
Aan de laatste formule te zien gaat het om $q$ als functie vqn $q_1$ en $q_2$. En dat betekent dat je moet kijken wat gebeurt als je $q_1$ en $q_2$ met $t$ (of $k$) vermenigvuldigt: welke macht van $t$ je buiten de haakjes kunt halen.

De stelling van Euler laat zien waar die macht, $n$, aan voldoet:
$$
q_1\frac{\partial q}{\partial q_1}+q_2 \frac{\partial q}{\partial q_2}=n\cdot q
$$Overigens staan er in de formule voor $g$ twee keer drie puntjes: $bq_1\cdots-a$ bijvoorbeeld; wat betekent dat?
Zie Mathworld: Euler's Homogeneous Function Theorem

kphart
20-2-2017


Re: Homogeniteit productiefunctie

a*[bq1 tot de macht - alpha; + (1-b)q2 tot de macht - alpha] en dit nog eens tot de macht (-1/alpha).

Ik heb de formules gebruikt die jullie aanbieden op de website, dus het is inderdaad raar van de puntjes. Mogelijk heb ik iets verkeerd ingevuld, excuses daarvoor.

Mag ik de machten binnen de haakjes vermenigvuldigen met de macht (-1/((k)alpha) buiten de haakjes? Maar dan verdwijnt de k en de alpha en krijg ik machten tot de eerste graad? dus -(k)alpha * (-1/(k)alpha)?

Bedankt voor jullie hulp.

J-C
20-2-2017

Antwoord

Printen
Nee, dat mag niet want in het algemeen is $(x+y)^p$ ongelijk aan $x^p+y^p$.
Daarnaast denk ik dat de bedoeling is dat je $q$ als functie van $q_1$ en $q_2$ ziet, met $a$, $b$, en $\alpha$ slechts als parameters. Het gaat er dus om te zien wat er gebeurt als je $q_1$ en $q_2$ met $k$ vermenigvuldigt.
$$
q(q_1,q_2)=a(b\cdot q_1^{-\alpha}+(1-b)q_2^{-\alpha})^{-\frac1\alpha}
$$ en dus
$$
q(kq_1,kq_2)=a(b\cdot(kq_1)^{-\alpha}+(1-b)(kq_2)^{-\alpha})^{-\frac1\alpha}
$$ hier kun je $k$ wel buiten de haakjes werken.
Daarnaast kun je de formule met de partiŽle afgeleiden proberen uit te werken.

kphart
20-2-2017


Complexe differentiaalvergelijking

Goede avond,
Ik heb wat last met volgende differentiaalvergelijking
(in vorm van D operator)
D(x2+9)y=xcosx of (D-3i)((D+3i)=xcosx
De complementaire vergelijking is dan:
y=C1sin3x+C2cos3x
Ik wil nu de methode van Lagrange gebruiken en de gevonden vergelijking ,na afleiden,schrijven als
Dy1=sin3x.DC1+cos3x.DC2 +3C1sin3x-3C2sin3x
We stellen de som van de vormen met afgeleide C's gelijk aan nul.
sin3x.DC1+cos3x.DC2=0 (1)
We houden over :
Dy1= 3C1cos3x-3C2sin3x
We leiden terug af en vinden
D2y1= 3cos3x.DC1-3sin3x.DC2-9C1sin3x-9C2cos3x
Stel nu de som met de DC's gelijk aan tweede lid
-3sin3xDC +3cos3x .DC1=xcosx (2)
Het volgend stelsel dient zich aan:
sin3x.DC1 +cos3x.DC2=0 (1)
3cos3xDC1-3sin3x.DC2=xcosx (2)
Het is de bedoeling dat ik de constanten C1 en C2 kan bepalen en dat zie ik niet zitten ..
Wie kan mij wat helpen aub ?? Heb ik iets fout gedaan , dan weet ik dat graag maar ik zie geen methode voor oplossing van het laatste gegeven stelsel.
Groetjes
Rik

Rik, L
4-3-2017

Antwoord

Printen
Alles is goed gegaan, maar deze methode heet niet voor niets ook wel "variatie van constanten": de constanten $C_1$ en $C_2$ uit de complementaire vergelijking zijn nu functies van $x$. Je kunt het stelsel oplossen, met $DC_1$ en $DC_2$ functies van $x$ en die moet je dan nog primitiveren om $C_1$ en $C_2$ zelf te bepalen.

kphart
5-3-2017


Re: Complexe differentiaalvergelijking

Dag Klaas Pieter ,
Ik zat eigenlijk vast op vergelijking (1)en zie nu dat deze vergelijking niet voor niets op nul wordt gesteld .
Ik reken dus verder (neem nu C' voor DC als U het goedvindt)
C'()1= -C'(2)sin3x/cos3x (3)
Stop ik nu (3) in (2)
-3(-C'(2)(sin3x/cos3x)∑sin3x +3c'(2)cos3x=xcosx
3C'(2)(sin23x)+3C'(2)cos23x=xcoxcos3x
C'(2)= 1/3 xcosxcos3x (4)
(( want sin23x+cos23x=1(gelukkig maar...)en(I) =integraal want kan symbool somteken niet genereren op mijn browser ))
C(2)= 1/3(I)xcosxcos3xdx
C(2)=1/6(I)xcos2xdx +1/6(I)xcos4xdx want cos(-2x)=cos2x
C(2)= 1/6((xsin2x)/2+(cos2x)/4+(xsin4x)/4+(cos4x)/16)
C(2)= 1/12(xsin2x)+1/24(cos2x) +1/24(xsin4x)+1/96(cos4x) (5)
NU: (4) in (1)
C'(1)+C'(2)sin3x/cos3x=0
C'()1+1/3(xcosxcos3x∑sin3x)/cos3x=0
C'(1)= -1/3(xcoscos3x)
C(1)=-1/3(I)(xcosx.sin3x)dx
C(1)= -1/6(I)( xsin4xdx-sin(-2x)dx)
C(1)=-1/6(I)xsin4xdx-1/6(I)(xsin2x)dx
C1= uitgewerkt
C1= -1/6((-xcos4xdx)/4-(I)(-cos4x/4)dx))
-1/6((-xcos2x)/2-(I)(-cos2x)/2dx
C1= (1/24) xcos4x-(1/96)sin4x+1/12xcos2x-(1/24)sin2x (6)

Nu nog C1 en C2 invullen (5) en (6) in de gegeven optie y1=C(1)C(1)cos3x+C(2)sin3x en we vinden , na herleiding en toepassing van formules (producten van cosinussen en sinussen ∑cosinussen volgende oplossing..
y= C(1)cos3x+C(2)sin3x +1/24xcos4xcos3x-1/96sin4xcos3x+1/12xcos2xcos3x -1/24sin2xcos3x+1/24xsin4xsin3x+1/96cos4xsin3x
+1/12xsin2xsin3x+1/24cos2xsin3x

y=C(1)1cos3x+C(2)sin3x+1/24(x(cos7x+csx))-1/96(sin7x+sinx)
+1/12(x(cos5x+cosx))-1/24(sin5x-sinx)+1/24(x(cosx-cos7x))
+1/96(sin7x-sinx)+1/12(x(cosx-cos5c))+1/24(sin50+sinx)
Cos(-x)= cosx en sin(-x)=-sinx dadelijk toegepast.

Tenslotte bekom ik door optellen van soortgelijke termen:

y=C(1)cos3x+C(2)sin3x+1/4xcosx+1/32sinx+1/24xcos7x-1/24cos7x

Ik hoop dat ik hier goed uitkom want het was aardig wat rekenwerk En ik heb er een tijd,heel graag, mee bezig geweest !
Bedankt voor je tijd, K-P, en je moeite dit alles te willen nazien...
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Le
6-3-2017

Antwoord

Printen
Het antwoord aan het eind klopt, je kunt de termen met $\cos 7x$ nog tegen elkaar wegstrepen. In vergelijking met de eerdere vraag zijn $C_1$ en $C_2$ omgewisseld maar dat maakt niet echt uit. Halverwege zit een verschrijving: $C_1'=-\frac13x\cos x\,\cos 3x$ (dat moet ($\sin 3x$ zijn, maar in de regel daaronder staat het weer goed:
$$
C_1=-\frac13\int x\,\cos x\,\sin3x\,\mathrm{d}x
$$

kphart
8-3-2017


Speciale integrerende factor

Hoi,

Ik heb een vraag bij de integrerende factor van de volgende differentiaalvergelijking:

(3x2+y)dx + (x2y-x)dy=0

Deze differentiaalvergelijking is niet exact, maar kan door vermenigvuldiging met een integrerende factor omgevormd worden tot een totale differentiaalvergelijking.
Volgens het boek geldt er:
Als (My - Nx)/ N continu en enkel afhankelijk is van x, dan geldt er dat de integrerende factor gelijk is aan:
Ķ(x) = exp (∫(My - Nx)/ N dx)
Na wat rekenwerk is (Mx - Nx)/ N = -2/x.

Volgens de definitie zouden dus de volgende 2 kenmerken voldaan moeten zijn voordat we hierbij over kunnen gaan tot het berekenen van de integrerende factor:
- Enkel afhankelijk van x (OK!)
- Continu (NIET OK!)

Mijn vraag is nu:
Wat zal het effect zijn van het feit dat -2/x niet continu is in 0?
Kan je dan alsnog de integrerende factor bepalen?

In het handboek lijkt men dit wel te doen en bekomt men Ķ(x) = 1/x2

De algemene oplossing van de DV is dan 3x-y/x+(1/2)y2= c EN x≡0

Echter baart die x≡0 me wat zorgen...

Lene C
13-3-2017

Antwoord

Printen
De $\mu$ die je krijgt werkt alleen als $x\neq0$ en zal dus tot oplossingen leiden op twee aparte gebieden: 1) als $x $<$ 0$, en 2) als $x $>$ 0$.
Bij de formule die je krijgt moet je dat dan vermelden.
Als je de niveaukrommen van je oplossing tekent (of laat tekenen, door Maple of zo) zul je zien dan door de $y$-as geen oplossingen gaan.
Die $x=0$ bij je oplossing hoort daar eigenlijk niet; de oplossingen gelden alleen voor $x\neq0$.

Hieronder zie je een plaatje van het richtingsveld.

q84070img1.gif

kphart
13-3-2017


Fourier analyse

Als je een blokgolf hebt die even en oneven is. Hoe splits je deze dan in een even en oneven deel?

Laura
25-3-2017

Antwoord

Printen
Als een functie tegelijk even en oneven is dan is het de nulfunctie. Immers, voor elke $x$ geldt dan $f(-x)=f(x)$ (even) Ťn $f(-x)=-f(x)$ (oneven) en dus $f(-x)=0$ en ook $f(x)=0$.
Jouw blokgolf zou dan constant nul zijn.

kphart
25-3-2017


Oplossing controleren

Ik moet controleren of de oplossing: v(t)=√gk∙((e^(2√gk.t)-1)/(e^(2√gk.t)+1 )) klopt in de differentiaalvergelijking: dv/dt= g Ė k ∑ v2
Maar het lukt me niet om de afgeleide van de oplossing op te stellen en dus om te controleren of de oplossing klopt.
Alvast bedankt!

Tessa
6-4-2017

Antwoord

Printen
Probeer het eerst eens voor het geval dat $2\sqrt{gk}=1$, dan ziet de functie er wat overzichtelijker uit:
$$
v(t)=\frac12\frac{e^t-1}{e^t+1}
$$Omdat $2\sqrt{gk}$ toch een geheel vormt kun je daaarna
$$
v(t)=\frac12a\frac{e^{at}-1}{e^{at}+1}
$$ proberen (met de kettingregel) en achteraf $a=2\sqrt{gk}$ invullen.

kphart
6-4-2017


Groeimodellen

Er zijn 1000 STUDENTEN. Op een dag wordt 1 student besmet met een besmettelijke ziekte. 10 % van de studenten is immuun. b(t) is het aantal besmette studenten na t dagen en b'(t) = 1,6 b(t).
Ik heb al gevonden dat b(t) = 1000 . e^(1,6t) is juist denk ik.
Ik moet de dv geven die rekening houdt met de maximale bezetting op lange termijn : ik denk b'(t) = 1,6 . ( 100 -b(t))
Vraag 1 : als minstens de helft is stoppen de lessen, moet ik dit oplossen met b'(t) = 1,6 . ( 100 -b(t)) f met de eerste?
Vraag 2 : ziekte duurt 7 dagen, ik moet het voorschrift geven van g(t) = aantal genezen na t dagen en z(t) aantal zieken na t dagen, ik weet niet hoe ik hieraan begin?
Ziekte

Arne D
10-4-2017

Antwoord

Printen
Ik denk dat $b(t)=1\cdot e^{1.6t}$ want op tijdstip $0$ is er ťťn zieke.
Ik zou als tweede DV nemen $b'(t)=1.6(900-b(t))$, want het maximum haalbare is kennelijk $900$.
1. Ik zou de oplossing van de tweede DV gebruiken, die is realistischer, en kijken voor welke $t$ je $b(t)=500$ hebt.
2. Het aantal mensen dat geneest op tijdstip $t$ is gelijk aan $z(t-7)$ en dat betekent dat $g'(t)=z(t-7)$. En $z(t)=b(t)-b(t-7)$.

kphart
10-4-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker