WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Eerste orde differentiaalvergelijking

In een vloeistof A zit 40 liter water waarin 100 gram suiker is opgelost. In een tweede vloeistof B zit 30 liter zuiver water. Vanaf t=0 wordt vanuit A vloeistof naar B overgepompt met een constante snelheid van 10 l/min. Gelijktijdig wordt met een tweede pomp vloeistof van B overgepompt naar A aan een snelheid van 5 liter/min. Stel de hoeveelheid suiker in A voor door x(t).

Toon aan dat voor t in [0,8[ x(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking:

dx/dt = -(5/(30+5t) +10/(40-5t))x(t) +500/(30+5t)

Ik snap dit niet. Moet je dan eerst x(t) zoeken en dan invullen ?
EEn volgende vraag is om de diff op te lossen. Dat vind ik dan tegenstrijdig met de eerste....

Graag uw hulp.
bart
1-3-2022

Antwoord

Die differentiaalvergelijking haal je uit de gegevens; die vertellen je hoeveel suiker het vat $A$ uitgaan en weer inkomt. Daarmee kun je de verandering van $x(t)$ uitdrukken in de functie $x(t)$ zelf:
$$\mathrm{verandering}=\mathrm{instroom}-\mathrm{uitstroom}
$$Bijvoorbeeld, op tijdstip $t$ zit er $40-5t$ liter vloeistof in $A$, daarvan wordt $10$ weggepompt, dat betekent dat $\eqalign{\frac{10}{40-5t}\times x(t)}$ suiker wegvloeit.
Dat draagt dus bij aan de uitstroom.

Zo kun je de instroom (via $B$) ook in $x(t)$ uitdrukken: in $B$ zit namelijk $100-x(t)$ suiker en $30+5t$ liter vloeistof.

Hiervoor heb je de formule voor $x(t)$ nog niet nodig; die vind je door de verkregen differentiaalvergelijking op te lossen.
kphart
2-3-2022

Lineaire differentiaaloperator

f(x) = 2·e^-2x+x·e^3x +5x·e^3x -3·e^-x·sin(2x)-10

bepaal de eenvoudigste vorm voor L, de homogene lineaire differentiaaloperator met constante coëfficiënten zodat Lf=0

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen
Timmy
5-3-2022

Antwoord

Je hebt als het goed is het omgekeerde probleem wel gezien: hoe een lineaire homogene differentiaalvergelijking op te lossen. Dat gaat door $e^{rx}$ in te vullen en dan een polynoomvergelijking te vinden waar $r$ aan moet voldoen.
Bijvoorbeeld
$$y''' -2y''+3y'-y=0
$$geeft na invulling $e^{rx}(r^3-2r^2+3r-1)=0$.

Als je het verband tussen de oplossingen van die vergelijking en de gedaante van de oplossing goed begrijpt kun je aan $f$ zien wat de oplossingen van die, nog onbekende, vergelijking zijn de constanten in de exponenten: $-2$, $3$, $-1+2i$ en $-1-2i$, en $0$.
Verder is $3$ een dubbele oplossing want in de oplossing zien we $xe^{3x}$.
De minimale vergelijking die deze nulpunten heeft is dus
$$(r+2)(r-3)^2(r+1-2i)(r+1+2i)(r-0)=0
$$Daaruit moet je de differentiaalvergelijking kunnen reconstrueren.
kphart
5-3-2022

Geroerde tank in serie

hallo ik heb een vraag over geroerde tanks in serie ( uit theorieboek)
massabalans 1 Vdc1/dt= $\phi$ v(c0-c1)
massabalans 2 Vdc2/dt= $\phi$ v(c1-c2)
de oplossing van de eerste:
c1=c0[1-exp(- $\phi$ v/Vt]

nu kan de totale oplossing verkregen worden door deze vergelijking in te vullen in die van massabalans 2, men krijgt dan:
2c(t)=c0[1-(1+ $\phi$ v/Vt). exp- $\phi$ v/Vt)]

als ik dit doe houd ik echter een c2 aan de rechterkant die ik niet kan 'wegdelen' zie ik hiet iets over het hoofd?
gijs
14-3-2022

Antwoord

Waar is de afgeleide van $c_2$ gebleven?

Als ik de tweede omschrijf krijg ik dit:
$$V\cdot \frac{dc_2}{dt}+\phi\cdot v\cdot c_2= \phi\cdot v\cdot c_1
$$op de plaats van de $c_1$ vul je je eerste oplossing in, en die differentiaalvergelijking moet je nu nog oplossen.
kphart
14-3-2022

Re: Toepassing uit de economie

Welke bron heb je gebruikt? ik ben geïnteresseerd maar enkel in het wiskundig aspect ervan.
Tim
27-3-2022

Antwoord

Hallo, Tim!
Dat kan ik niet meer terugvinden, maar het model spreekt voor zichzelf.
Zoek nu alfa, beta, A en B zodat de voorgestelde sinusfunctie oplossing wordt van de differentiaalvergelijking.

hr
28-3-2022

Differentiaalvergelijking in Excel

Hoe schrijf je een oplossing voor een differentiaalvergelijking in excel?
Jorien
2-12-2022

Antwoord

Symbolisch oplossen zal niet gaan denk ik.

Als je een beetje Excel kunt programmeren kun je bijvoorbeeld de Methode van Euler laten uitvoeren om numerieke benaderingen van de oplossingen te krijgen, en die eventueel te laten plotten.
kphart
2-12-2022