WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Eerste orde differentiaalvergelijking

In een vloeistof A zit 40 liter water waarin 100 gram suiker is opgelost. In een tweede vloeistof B zit 30 liter zuiver water. Vanaf t=0 wordt vanuit A vloeistof naar B overgepompt met een constante snelheid van 10 l/min. Gelijktijdig wordt met een tweede pomp vloeistof van B overgepompt naar A aan een snelheid van 5 liter/min. Stel de hoeveelheid suiker in A voor door x(t).

Toon aan dat voor t in [0,8[ x(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking:

dx/dt = -(5/(30+5t) +10/(40-5t))x(t) +500/(30+5t)

Ik snap dit niet. Moet je dan eerst x(t) zoeken en dan invullen ?
EEn volgende vraag is om de diff op te lossen. Dat vind ik dan tegenstrijdig met de eerste....

Graag uw hulp.
bart
1-3-2022

Antwoord

Die differentiaalvergelijking haal je uit de gegevens; die vertellen je hoeveel suiker het vat $A$ uitgaan en weer inkomt. Daarmee kun je de verandering van $x(t)$ uitdrukken in de functie $x(t)$ zelf:
$$\mathrm{verandering}=\mathrm{instroom}-\mathrm{uitstroom}
$$Bijvoorbeeld, op tijdstip $t$ zit er $40-5t$ liter vloeistof in $A$, daarvan wordt $10$ weggepompt, dat betekent dat $\eqalign{\frac{10}{40-5t}\times x(t)}$ suiker wegvloeit.
Dat draagt dus bij aan de uitstroom.

Zo kun je de instroom (via $B$) ook in $x(t)$ uitdrukken: in $B$ zit namelijk $100-x(t)$ suiker en $30+5t$ liter vloeistof.

Hiervoor heb je de formule voor $x(t)$ nog niet nodig; die vind je door de verkregen differentiaalvergelijking op te lossen.
kphart
2-3-2022

Lineaire differentiaaloperator

f(x) = 2·e^-2x+x·e^3x +5x·e^3x -3·e^-x·sin(2x)-10

bepaal de eenvoudigste vorm voor L, de homogene lineaire differentiaaloperator met constante coëfficiënten zodat Lf=0

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen
Timmy
5-3-2022

Antwoord

Je hebt als het goed is het omgekeerde probleem wel gezien: hoe een lineaire homogene differentiaalvergelijking op te lossen. Dat gaat door $e^{rx}$ in te vullen en dan een polynoomvergelijking te vinden waar $r$ aan moet voldoen.
Bijvoorbeeld
$$y''' -2y''+3y'-y=0
$$geeft na invulling $e^{rx}(r^3-2r^2+3r-1)=0$.

Als je het verband tussen de oplossingen van die vergelijking en de gedaante van de oplossing goed begrijpt kun je aan $f$ zien wat de oplossingen van die, nog onbekende, vergelijking zijn de constanten in de exponenten: $-2$, $3$, $-1+2i$ en $-1-2i$, en $0$.
Verder is $3$ een dubbele oplossing want in de oplossing zien we $xe^{3x}$.
De minimale vergelijking die deze nulpunten heeft is dus
$$(r+2)(r-3)^2(r+1-2i)(r+1+2i)(r-0)=0
$$Daaruit moet je de differentiaalvergelijking kunnen reconstrueren.
kphart
5-3-2022

Geroerde tank in serie

hallo ik heb een vraag over geroerde tanks in serie ( uit theorieboek)
massabalans 1 Vdc1/dt= $\phi$ v(c0-c1)
massabalans 2 Vdc2/dt= $\phi$ v(c1-c2)
de oplossing van de eerste:
c1=c0[1-exp(- $\phi$ v/Vt]

nu kan de totale oplossing verkregen worden door deze vergelijking in te vullen in die van massabalans 2, men krijgt dan:
2c(t)=c0[1-(1+ $\phi$ v/Vt). exp- $\phi$ v/Vt)]

als ik dit doe houd ik echter een c2 aan de rechterkant die ik niet kan 'wegdelen' zie ik hiet iets over het hoofd?
gijs
14-3-2022

Antwoord

Waar is de afgeleide van $c_2$ gebleven?

Als ik de tweede omschrijf krijg ik dit:
$$V\cdot \frac{dc_2}{dt}+\phi\cdot v\cdot c_2= \phi\cdot v\cdot c_1
$$op de plaats van de $c_1$ vul je je eerste oplossing in, en die differentiaalvergelijking moet je nu nog oplossen.
kphart
14-3-2022

Re: Toepassing uit de economie

Welke bron heb je gebruikt? ik ben geïnteresseerd maar enkel in het wiskundig aspect ervan.
Tim
27-3-2022

Antwoord

Hallo, Tim!
Dat kan ik niet meer terugvinden, maar het model spreekt voor zichzelf.
Zoek nu alfa, beta, A en B zodat de voorgestelde sinusfunctie oplossing wordt van de differentiaalvergelijking.

hr
28-3-2022

klein | normaal | groot