De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Complexegetallen

Complex getal bepalen

Hallo

Ik moet alle complexe getallen bepalen waarvan de vierde macht reŽl en kleiner is dan -64.
Hoe kan ik dit doen?

Alvast bedankt

Hanne
18-1-2022

Antwoord

Printen
Je schrijft $z$ in modulus-argumentvorm: $re^{i\theta}$. Dan $z^4=r^4 e^{i4\theta}$.
"ReŽel en kleiner dan $-64$" betekent "argument is $\pi$ en modulus groter dan $64$".

Dus moet $4\theta$ gelijk zijn aan $\pi+2k\pi$ voor een gehele $k$ en $r^4$ moet groter zijn dan $64$.

kphart
18-1-2022


Formule van Moivre

Hoe kan je cos(4x) uitdrukken in cos(x) met de formule van Moivre?

wiskun
7-5-2022

Antwoord

Printen
Hallo,

Dank voor je vraag.

De formule van De Moivre stelt

$(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^n=\cos(nx)+i\cdot \sin(nx) $,

ofwel, voor $n=4$

$(\cos(x)+i\cdot\sin(x))^4=\cos(4x)+i\cdot\sin(4x) $.

Haakjes wegwerken links geeft

$\cos^4(x) + 4i\cdot\cos^3(x)\sin(x) + 6i^2\cdot\cos^2(x)\sin^2(x) + 4i^3\cdot\cos(x)\sin^3(x) + i^4\cdot\sin^4(x) = \cos(4x)+ i\cdot\sin(4x)$

en dus

$\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) + i(4\cos^3(x)\sin(x) - 4\cos(x)\sin^3(x)) = \cos(4x)+ i\cdot\sin(4x).$

Nemen we aan beide kanten het reŽle deel, dan houden we

$\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) = \cos(4x)$

over en met substitueren van $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ kunnen we de gevraagde uitdrukking completeren.

Met vriendelijke groet,

FvL
7-5-2022


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3