De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Complexegetallen

Transformaties in Eschers werk

Ik ben op zoek naar een werk van Escher waarin duidelijk transformaties voorkomen. De taak gaat over transformaties uitvoeren in het vlak met complexe getallen. Zou u mij een beetje op weg kunnen helpen? We moeten dit doen a.d.h.v. een assenstelsel.

Lisa
5-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Lisa,

Via onderstaande link kom je bij een aantal voorbeelden van werk van Escher waarin duidelijk transformaties te vinden zijn. Er is ook enige uitleg bij in het Engels en via plaatjes. Hopelijk heb je er wat aan.

Een iets moeilijker verhaal is ook hier te vinden Een blik achter de verrassend wiskundige structuur van M.C. Eschers Prentententoonstelling

Met vriendelijke groet,

Zie Alex Webb & M.C. Escher

FvL
11-2-2017


Machten met complexe getallen

Beste,
Het lukt niet voor deze oefening.

(1+i)2017

Wilt u a.u.b. helpen.

Dank u.

Danyaa
8-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Danyaal,

Heb je er aan gedacht om 1+i te herschrijven in de polaire vorm? Dan krijg je $\eqalign{1+i=\sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i}}$.
Ik denk dat je daar beter mee uit de voeten kunt.

Tweede idee, als je geen weet hebt van de polaire vorm, is eens met het volgende te werken:

$(1+i)^2=2i$, dus $(1+i)^4=(2i)^2=-4$

Groet,

FvL
8-2-2017


Formule van Cardano

x3-15x-4=0 komt met de formule van Cardano 4 uit.
Hoe vind ik de andere 2 nulpunten?

Quincy
9-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Quincy,

Als $x=4$ een oplossing is, dan kun je altijd $x-4$ uitdelen: $x^3-15x-4$ wordt dan $(x-4)(x^2+4x+1)$. Kun je dan verder?

Groet,

FvL
9-2-2017


Complexe vlak

Aan welke voorwaarden moeten complexe getallen voldoen om in het complexe vlak op ťťn dezelfde rechte te liggen?

Petvd
21-3-2017

Antwoord

Printen
Geen speciale voorwaarden als het om twee getallen gaat: door elk tweetal punten gaat ťťn lijn.
Je vraag is eigenlijk niet te beantwoorden want er staat eigenlijk geen informatie in.
Lees de spelregels nog eens, zie hieronder.

kphart
21-3-2017


Bepalen van zuiver imaginair nulpunt

Gegeven: z3+2(1-i)z2+(1+m2-4i)z-2i(1+m2)=0 (met z element complexe getallen en parameter m element van de reŽle getallen)

(1) Toon aan dat deze vergelijking een zuiver complex nulpunt heeft en bereken dit nulpunt.
Ik heb verondersteld dat het zuiver imaginair nulpunt gelijk is aan ai (i2=-1 en a element van de reŽle getallen). Daarna ingevuld en ik heb gesteld dat het reŽle deel van de vergelijking nul moest zijn (a3-a=0). ( ik heb nog nooit zo'n vraag opgelost maar ik heb me gebaseerd op het bepalen van een reŽel nulpunt bij complexe vergelijkingen waar het reŽle en imaginaire deel gelijk moeten zijn aan 0) Daaruit volgt dat a=2 en a=0. Ik heb a=0 geschrapt omdat ik anders geen imaginair getal uitkom. Ik stel dus dat het zuiver imaginair nulpunt: a=2i. Klopt dit?

(2) Bepaal de andere oplossingen a.d.h.v reŽle parameter m. Dit zou ik dan oplossen met behulp van Horner.

Alvast bedankt!

Xavier
14-6-2017

Antwoord

Printen
Hallo Xavier,

Je eerste stap is goed. Ik zie alleen niet helemaal hoe je aan $a^3-a=0$ bent gekomen, maar misschien is het ook wel een typfout. Ik kom op $-2a^2+4a=0$ en dat levert zoals je zegt $a=0 \vee a=2$.
Maar dan ben je er nog niet helemaal. Je moet dan nog wel even door substitutie controleren dat $z=0i$ en $z=2i$ ook echt oplossingen van de vergelijking opleveren (immers, om de vergelijking opgelost te krijgen moet zowel het imaginaire als het reŽle deel nul worden!). Dat doet $z=0i$ (omdat $m$ reŽel is) niet, $z=2i$ wel.

Nu stap (2), ook daar heb je het goede idee. Ga door.

Succes.

Met vriendelijke groet,

FvL
14-6-2017


Aftelbaarheid eindigheid van nde machtswortel uit een complex getal

Hallo, in mijn cursus staat er een vraag over complexe getallen. We moeten de verzameling van alle complexe getallen die een n-de machtswortel zijn van 1 beschouwen. Met c, een complex getal en n, element van de natuurlijke getallen zonder 0. De vraag is of deze verzameling eindig/ oneindig is, en of deze aftelbaar/overaftelbaar is?
We weten dat de complexe getallen een oneindige, overaftelbare verzameling is. Blijft dat gelden wanneer we de nde machtswortel voor het getal 1 nemen? Dankuwel!

Robin
10-7-2017

Antwoord

Printen
Hallo, Robin!

Maar natuurlijk is de verzameling van alle n-de-machts eenheidswortels aftelbaar, wat een vraag!
Het gaat erom dat je elke n-de-machts eenheidswortel een volgnummer kunt geven.
Geef eerst de eerstemachts eenheidswortels een nummer, dat is er maar een, dus die krijgt nummer 1.
Geef dan de tweedemachts eenheidswortels een nummer, dat zijn er twee, maar een van de twee is al geteld, de ander krijgt nummer 2.
Geef dan de derdemachts eenheidswortels een nummer, dat zijn er drie, maar een van de drie is al geteld, de andere twee krijgen nummer 3 en nummer 4.
Geef dan de vierdemachts eenheidswortels een nummer, dat zijn er vier, maar twee van de vier zijn al geteld, de andere twee krijgen nummer 5 en nummer 6.
In de n-de ronde worden de n-de-machts eenheidswortels geteld, voor zover ze nog niet geteld zijn.

hr
10-7-2017


Re: Aftelbaarheid eindigheid van nde machtswortel uit een complex getal

Hallo, dus als ik het goed begrijp is het een eindige, aftelbare verzameling?

Robin
10-7-2017

Antwoord

Printen
Nee, aftelbaar oneindig.
Voor elke vaste n zijn er maar n n-demachtseenheidswortels, dus als die n aan de beurt is worden er hoogstens n geteld, namelijk diegene die nog niet bij kleinere n geteld zijn.
Bijvoorbeeld -1 is tweedemachts eenheidswortel, maar ook vierdemachts eenheidswortel, dus die wordt al bij n=2 geteld, en bij n=4 hoeft die niet meer geteld te worden.
Er zijn oneindig veel n, en ook oneindig veel verschillende n-de-machts eenheidswortels. Want als n priem is, zijn er, als deze n aan de beurt is, altijd n-de-machts eenheidswortels die nog niet geteld zijn.
Maar ze kunnen dus wel allemaal geteld worden, dwz een volgnummer krijgen. De telprocedure komt aan elke eenheidswortel toe, ook al duurt het aftellen oneindig lang.

hr
10-7-2017


Oefening parametervoorstelling amerikaanse vorm

Vraag: beschouw het complex getal z= {(2$<$40į)^2 . (3$<$(-20į))} / 4$<$30į

a) vindt het reŽel en imaginair deel van z.
b) Schrijf z in exponentiŽle vorm.

Thomas
20-8-2017

Antwoord

Printen
Lees allereerst de spelregels: wat heb je zelf al gedaan? waar zit het probleem?
In dit geval kun je gebruikmaken van de regel dat vermenigvuldigen neer komt op: modulussen vermenigvuldigen en hoeken optellen. Je zult zien dat de modulus van $z$ gelijk is aan $3$ en de hoek van $z$ gelijk is aan $30^\circ$ of beter: $\pi/6$.

kphart
20-8-2017


Wortel

Ik begrijp hoe je over het algemeen een wortel van een complex getal kan bepalen, maar bij deze niet. Ik moet de wortel uit -32i bepalen. Ik weet de oplossing maar ik moet het ook algebraisch kunnen. x2 - y2 + 2xy = -32i
Dus denk ik x2 - y2 = 0 en 2xy = -32. Verder kom ik niet

Seppe
27-8-2017

Antwoord

Printen
Hallo Seppe,

Ik denk dat je het volgende in gedachten had:

Stel $z = a + ib\, (a,b \in \mathbf{R}$) is een oplossing, dan geldt $z^2=-32i$ en dus ook $(a+ib)^2 = a^2+2iab-b^2 = -32i$.

Inderdaad krijg je dan $a^2-b^2=0$ en $2ab=-32$, ofwel $ab=-16$.

Uit $a^2-b^2=0$ volgt $a=b \vee a=-b$.

Substitueren we $a=b$ in $ab=-16$ dan levert dat $b^2=-16$ en dat levert geen oplossing op (immers, $a,b \in\mathbf{R}$).

Maar $a=-b$ geeft $b^2=16$ en dus $b=\pm 4$. De oplosingen zijn dus $z=4-4i \vee z=-4+4i$.

Met vriendelijke groet,

FvL
27-8-2017


Macht van een complex getal

Hoe bereken je (√3 - i)6 in het handboek staat alleen uitleg over hoe je het kwadraat neemt en ik heb problemen met andere machten.

Seppe
28-8-2017

Antwoord

Printen
Dat moet je kunnen zodra je kunt vermenigvuldigen: $(\sqrt3-i)^2$ uitrekenen, dan $(\sqrt3-i)^4$ (door kwadrateren) en ten slotte $(\sqrt3-i)^4(\sqrt3-i)^2$.

kphart
28-8-2017


Oplossen van vergelijkingen

Beste,

In mijn wiskundeboek staat de volgende opgave: z2-(1+i)z+i=0. Ik probeer deze op te lossen door middel van de abc-formule. Echter blijf ik haken bij het vereenvoudigen. Er staat nu het volgende: (i+1)/2 Ī (i√2i)/2

Ik weet niet hoe ik nu verder moet.

Graag hoor ik van u.

Met vriendelijke groet

Erwin
16-10-2017

Antwoord

Printen
Je hebt onderweg vast uitgerekend dat $(1+i)^2=2i$. Dan weet je ook wat je op de plek van $\sqrt{2i}$ kunt zetten.

kphart
17-10-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker