De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Breuksplitsen

Breuksplitsen

De integraal van: (6x-14)/(x2-6x+9) oplossen door middel van breuksplitsen

Sven
11-5-2017

Antwoord

Printen
Hallo Sven,

Schrijf de teller als 6(x-3)+4 en de noemer als (x-3)2. En nog even de spelregels lezen.

GHvD
11-5-2017


Integratie door breuksplitsing

Na enig intensief onderzoek op het internet (en deze site) heb ik moeite met de uitleg van mijn wiskundeboek.

Het hoofdstuk dat mijn wiskundeboek nu behandeld is 'integratie door middel van breuksplitsing'. Nadat er enige opgaven voorbij zijn gekomen, waarbij ik de noemer van een integraal moest ontbinden in factoren, stuit ik nu op het probleem dat de noemer van de volgende integraal niet te ontbinden is:

$\int{}$ x/x2 + 4x + 5

Het boek zegt dat deze integraal niet met breuksplitsing is op te lossen (dat maakt het moeilijk om extra informatie op te zoeken).

Het boek zegt: Om de integraal te bepalen moeten we de integraal schrijven als een som van twee integralen, die wel te berekenen zijn:

$\int{}$2x + 4/x2 + 4x + 5 en $\int{}$1/x2 + 4x + 5

Het probleem is dat ik niet weet hoe ze aan die twee integralen komen. Het valt mij op dat de teller van de eerste integraal de afgeleide is van de noemer. Echter wordt daarover in het boek niet over gesproken.

Samenvattend wil ik graag meer weten over het 'breuksplitsen' van deze integraal.

Alvast zeer bedankt

Erwin
26-7-2017

Antwoord

Printen
Hallo Erwin,

Het klopt dat ernaar wordt gestreefd om de teller zodanig op te splitsen dat de afgeleide van de noemer verschijnt. Ofwel: we proberen de teller x te schrijven als:

a∑n' + b

In dit geval:

a(2x+4) + b = x

Dan vinden we: a=1/2 en b=-2

Hiermee kunnen we de te integreren functie splitsen:

x/(x2+4x+5) = 1/2(2x+4)/(x2+4x+5) - 2∑1/(x2+4x+5)

ofwel:

x/(x2+4x+5) = 1/2(2x+4)/(x2+4x+5) - 2∑1/((x+2)2+1)

De opgave wordt dan:
Bereken:

1/2∑$\int{}$(2x+4)/(x2+4x+5)dx -2∑$\int{}$1/((x+2)2+1)dx

Beide integralen zijn op te lossen met behulp van de substitutiemethode. Voor de eerste integraal: stel u=x2+4x+5 en voor de tweede integraal: stel v=x+2

GHvD
26-7-2017


Re: Integratie door breuksplitsing

Hartelijk dank. De techniek is mij nu geheel duidelijk. Echter ben ik nu erg benieuwd naar het bewijs dat hierachter zit. Hoe komt het dat je met behulp van de afgeleide de integralen met elkaar kunt optellen?

Misschien kunt u mij nog hierbij helpen, want ik ben nu wel erg nieuwsgierig geworden.

Met vriendelijke groet

Erwin
27-7-2017

Antwoord

Printen
Hallo Erwin,

Er is geen 'bewijs hierachter': het gaat erom dat je probeert om een lastige functie zodanig te herschrijven dat je toch met standaard integralen uit de voeten kunt. Hiervoor bestaan geen vaste regels of recepten. Oefenen helpt: hoe vaker je een bepaalde 'truc' hebt gezien, hoe eerder je ziet aankomen dat een bepaalde aanpak wel eens handig kan zijn: herschrijven, breuk splitsen, partiŽle integratie, substitutiemethode .....

Wel is het zo dat de substitutiemethode vaak uitkomst biedt wanneer je -zoals jij zag- te maken hebt met een samengestelde functie waarbij een deel de afgeleide is van een ander deel. Wanneer je dit herkent, is het dus de moeite waard om hiernaartoe te werken en de substitutiemethode te proberen.

Hier blijkt dit te resulteren in twee delen die inderdaad op te lossen zijn, maar er had ook opnieuw een onoplosbare integraal kunnen ontstaan. Dan moet je wat anders proberen.

Uiteraard kan je met oefenen je inzicht vergroten, en zie je gemakkelijker wat 'ongeveer' het resultaat zal zijn van een bepaalde aanpak. Dan kan je ook verder van tevoren inschatten of die aanpak kans van slagen heeft of niet.

Voor meer informatie: zie H. Hofstede: breuksplitsen.

GHvD
28-7-2017


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker