WisFaq!

$(\forall x)(x=x)$
$(\forall x)(x\in\emptyset \leftrightarrow x\neq x)$
$(\forall x)(x\notin A \rightarrow x=x)$
$(x\in\emptyset \land x\notin A)\rightarrow(x\neq x\land x=x)$
$\neg(x\in\emptyset \land x\notin A)$
$x\in\emptyset \rightarrow x\in A$

kphart
16-2-2023

Open en gesloten verzamelingen

Dag medewiskundigen

Ik heb een opdracht waarbij ik moet bewijzen dat A*B, met B=]0;+ $\infty $ [ en A $\subseteq $ R een open verzameling, open is. Het liefst Bewijzen adhv van de bol (B_r(x)={y $\in $ R|d(x,y) $<$ r}) of mss zou je kunnen gebruik maken van het feit dat de unie van open verzamelingen ook open is. Ik moet het ook bewijzen zonder te weten welke metriek het is, dus ik moet het heel algemeen doen & mag bijvoorbeeld niet gwn d(x,y)=abs(x-y) doen ( & ik mag ook niet gebruiken dat er een norm bestaat voor deze afstandsfunctie).
Er is nog een klein deelvraagje bij, waarbij je een B $\subseteq $ R moet geven waarvoor A*B gesloten is. Ik pak dan B={0} & A=R, dan is A*B={0} & moet dus bewijzen dat R\{0} open is. Ik dacht: R\{0}=]- $\infty $ ;0[ U ]0;+ $\infty $ [ & aangezien dat dit de unie van open verzamelingen is, is R\{0} ook open, maar hoe bewijs ik dat deze 2 verzamelingen effectief open zijn (bvb adhv de bol)?

Alvast super bedankt!

Ik weet dat dit een lange vraag is, maar moest u zin hebben om ook nog te bewijzen dat A+{y} open is als a open is & y $\in $ R^n & A $\subseteq $ R^n, dan mag dat altijd
Kasper
28-2-2023

Antwoord

Ik neem aan dat $*$ voor vermenigvuldiging staat.
Je kunt de vraag op verschillende manieren aanpakken, maar allereerst moet je $A*B$ even anders opschrijven:
$$A*B=\{a*b:a\in A, b\in B\}=\bigcup_{b\in B}\{a*b:a\in A\}
$$Als je voorwerk hebt gedaan weet je al dat $A*b$ open is voor alle $b\in B$, want de afbeeldingen $x\mapsto x*b$ en $x\mapsto x/b$ zijn continu. Dus $A*B$ is de vereniging van open verzamelingen, dus zelf open.

Als je dat voorwerk (nog) niet gedaan hebt kun je bewijzen dat $A*b$ open is, voor elke $b$. Neem een punt, $x$, daarin, dan is er een $a\in A$ met $x=a*b$. Omdat $A$ open is geldt $B(a,r)\subseteq A$ voor een $r $>$ 0$, maar dan volgt, na vermenigvuldiging met $b$, dat $B(x,r*b)\subseteq A*b$.

Voor je laatste vraag: als $a\neq 0$ neem dan $r=|a|$, dan geldt $0\notin B(a,r)$ en dat is genoeg om te bewijzen dat $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ open is.
kphart
1-3-2023

Differentiaaltopologie: Integraal 1-vorm van variëteit

Beste

Ik zit vast aan deze oefening:
Zij w een 1-vorm op variëteit X met de eigenschap dat de integraal langs elke gesloten kromme 0 is. Dan is w=df waarbij f een zekere 0-vorm is op X. Alvast bedank ik u voor uw hulp!

Met vriendelijke groeten
Rafik
Rafik
15-3-2023

Antwoord

Neem een punt $x_0$ vast en definieer
$$f(x)=\int_{x_0}^x w
$$de integraal gaat over een willekeurige kromme op $X$ die $x_0$ en $x$ verbindt.

Bewijs nu: de integraal is inderdaad onafhankelijk van de kromme en $w=\mathrm{d}f$.

kphart
15-3-2023

Re: Differentiaaltopologie: Integraal 1-vorm van variëteit

Dit is wat ik van de hint gemaakt heb:

f(x+h)-f(x) is de integraal van x naar x+h van w. Dit heb ik dan geparametriseerd met c: $\lambda $ - $>$ x+ $\lambda $ waarbij $\lambda $ $\in $ [0,h]. Zodanig we G(h) kunnen stellen aan de integraal van 0 tot h van c*w. We krijgen nu dat f(x+h)-f(x)/h=G(h)-G(0)/h. Nemen we de limiet h- $>$ 0 dan is dit G'(0). Ik weet niet echt wat ik verder moet doen, hopelijk heb ik de hint juist begrepen.

Rafik
16-3-2023

Antwoord

Je hebt nu een functie van meer veranderlijken (via een parametrisering van een kaart waar $x$ op ligt) en die kun je niet zomaar differentiëren via de limiet van een differentiequotiënt.
Zoek de definitie van $\mathrm{d}f$ op; je zult zien dat het om de gradiënt van $f$ gaat. Die bepaal je door richtingsafgeleiden van $f$ te nemen en dat gaat in feite door partieel te differentiëren.

In dit geval speelt de hoofdstelling van de integraalrekening (en het bewijs daarvan) ook nog een rol.

kphart
17-3-2023

Re: Analyse van meer variabelen

Beste M,
Is het uiteindelijk gelukt om een oplossing te vinden?
Ik heb namelijk nu precies dezelfde opdracht.
Groet,
Jelle
Jelle
4-10-2023

Antwoord

Ik weet niet of M dit na drie jaar nog leest. Maar in het artikel kun je zien dat $u^2-2v^2=-1$ oneindig veel gehele oplossingen heeft met $v$ oneven.
Dat geeft voor het oorspronkelijke probleem telkens
$$2y-1=v\text{ en }x-3y=u
$$met oplossingen
$$y=\frac{v+1}2 \text{ en } x=u+3y = u+\frac32(v+1)
$$die zijn dus ook geheel.

kphart
5-10-2023

Een autodealer met 45 klanten

Een autodealer heeft 45 klanten in 30 dagen met elke dag tenminste 1 klant. Dan is er een serie van opeenvolgende dagen waarin hij precies 14 klanten heeft. Bewijs dit.

Jan
30-10-2023

Antwoord

Wat heb je zelf al geprobeerd?

Ik zou het als volgt aanpakken: schrijf voor elke dag het aantal klanten dat die dag langskomt op: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{30}$. Tel vervolgens alle beginstukken op: $s_1=a_1$, $s_2=a_1+a_2$, $s_3=a_1+a_2+a_3$, $\ldots$, $s_{30}=a_1+a_2+\cdots+a_{30}$.
We willen dus vaststellen dat er $k$ en $l$ zijn zó dat $k < l$ en $s_l-s_k=a_{k+1}+\cdots+a_l=14$.

Wat je doet is elke $s_i$ door $14$ delen met rest, en telkens die rest $r_i$ opschrijven. Dat geeft een rij van $30$ getallen die allemaal $0$, $1$, $2$, $\ldots$, $13$ kunnen zijn.
Stel dat elk getal uit $\{0,1,2,\ldots,13\}$ niet meer dan twee keer voorkomt; dan kunnen we maar $28$ resten hebben, en we hebben er $30$ dus dat gaat niet. Er is een getal dat drie of meer keer voorkomt. Dus we hebben $k < l < m$ met $r_k=r_l=r_m$. Dus $s_l-s_k$ en $s_m-s_l$ zijn veelvouden van $14$.
En omdat elke dag ten minste één klant langskomt geldt $s_k < s_l < s_m$.

Als $s_l-s_k=14$ dan zijn we klaar; anders is $s_l-s_k$ gelijk aan $28$ of $42$.
Maar dan kan $s_m-s_l$ niet $28$ of meer zijn omdat dan $s_m-s_k\le45$.
Dus $s_m-s_l=14$, klaar.

kphart
31-10-2023