WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Bewijzen

Re: Getallenvoorbeelden geven bij een bewijs

Er lijken iets meer priemgetallen te zijn van de vorm 4k-1 dan van de vorm 4k+1,. Klopt als je onder de 25000 blijft.

Gerard
1-1-2025

Antwoord

Het moet niet gekker worden…🤪
WvR
1-1-2025

Re: Getallenvoorbeelden geven bij een bewijs

Een van de vermoedens van Fermat:
Alle getallen van de vorm 2^m
met m=2^k+1 zijn priem.
Gaat al mis bij k=5
Gerard
1-1-2025

Antwoord

Ook fraai…🎸
WvR
1-1-2025

Koordenvierhoek en punten op een cirkel

Wanneer ik kan aantonen dat de som van twee overstaande hoeken in een vierhoek gelijk is aan 180 graden, heb ik dan bewezen dat er sprake is van een koordenvierhoek en dus dat alle vier de hoekpunten van de vierhoek op dezelfde cirkel liggen? Ik heb dan namelijk wel een erg simpele uitwerking voor een 'Afsluitende' vraag op 6 vwo-niveau.

Mijn uitwerking is namelijk als volgt: (vectoren kan ik niet mooi invoeren, zie ik, dus ik heb het even zo gedaan)
(1 4)-(3 0)=(-2 4)
(5 6)-(1 4)=(4 2)
(-2 4)·(4 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

(7 4)-(3 0)=(4 4)
(5 6)-(7 4)=(-2 2)
(4 4)·(-2 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

90 + 90 = 180, dus overstaande hoeken zijn 180 graden
Voor de andere twee hoeken: som vierhoek = 360, 360-180=180, dus ook deze overstaande hoeken zijn 180 graden.

Er is dus sprake van een koordenvierhoek en dus liggen punten A, B, C en D op één cirkel.
Leerli
15-1-2025

Antwoord

Dat is prima.

Je kunt ook de stelling van Thales gebruiken: de hoeken \angle ACB en \angle ADB zijn recht, dus C en D liggen op de cirkel die AB als middellijn heeft.

Je kunt ook de coördinaten van A, B, C, en D invullen in (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Dan zul je snel zien dat je met a=4, b=3, en r^2=10 vier kloppende vergelijkingen krijgt.
kphart
15-1-2025

Bewijs

Hoe kan je dit kort bewijzen met LK/RK=... LK/RK
I.e. "cos(2a)[1+16cos(2a)-(cos(4a))^2)] =2(cosa)^2+16(cos(2a))^4-(cos4a)^2-(cos8a)^2
Meliss
10-2-2025

Antwoord

Dat kan niet, vul a=\frac\pi4 in.
Links krijg je: 0\cdot(1+16\cdot0-(-1)^2)=0.
Rechts krijg je: 2\cdot(\frac12\sqrt2)^2+16\cdot0^4-(-1)^2-1^2=-1.
Declinker- en rechterkant zijn niet voor alle a aan elkaar gelijk.
kphart
10-2-2025

Equivalente afstanden

Zij G een compacte Lie groep en g zijn Lie algebra, we kunnen op G een afstand definiëren via de geodesic distance. Ik vroeg me het volgende af: We weten dat exp:g- > G een lokale diffeomorfisme is, dus er bestaan open U_1 en U_2 omgevingen van 0 en e resp. zodat exp:U_1- > U_2 een diffeomorfisme is, kunnen we een C_1,C_2 > 0 vinden zodanig voor elke Y in U_1, C_1|exp(Y)|_{geod} \le |Y|_{eucl} \le C_2|exp(Y)|_{geod}, met andere woorden zijn deze afstanden lokaal equivalent? Alvast bedankt.
Rafik
6-3-2025

Antwoord

Dat lijkt me wel: omdat het hier om een diffeomorfisme gaat is er een matrix M zó dat
\operatorname{exp} (x) = Mx +R(x)

voor x nabij 0, en met \lim_{x\to0}\frac{R(x)}{\|x\|}=0. Die matrix is inverteerbaar dus er zijn positieve constanten a en A zó dat a\|x\|\le \|Mx\|\le A\|x\| voor alle x. Gecombineerd met de eis op R kun je een omgeving van 0 vinden waarop je C_1=\frac12a en C_2=2A kunt nemen.
kphart
7-3-2025

Re: Equivalente afstanden

Begrijp ik het goed dat exp(x)=Mx+R(x) geldt omdat als we dim(G)=n noteren dan kunnen we G imbedden in R^{nxn} en g is isomorf met R^n dus krijgen we dat exp:R^n- > R^{nxn} een lokale diffeomorfisme, zodat exp(x)=Mx rond een kleine omgeving van x. Ik begrijp wel niet zo goed hoe de inverteerbaarheid van M impliceert dat a|x|_{euclid} < |Mx|_{geod} < A|x|_{euclid}.

Rafik
7-3-2025

Antwoord

Inderdaad, je vertaalt alles naar omgevingen van 0 in \mathbb{R}^n.

De geodeten zijn, nabij 0, nagenoeg rechte lijnen en er geldt dat
\lim_{x\to0}\frac{\|x\|_2-\|x\|_g}{\|x\|_2} =0
Voor a en A heb je
a\|a\|_2\le \|Mx\|_2\le A\|x\|_2
Nu kun je, op de manier van gewone Analyse met meer variabelen, een kleine omgeving van 0 vinden waarop
\frac12a\|x\|_g, \frac12a\|x\|_2 \le \|Mx\|_g \le 2A\|x\|_g, 2A\|x\|_2

kphart
8-3-2025

Bewijs

Hallo, hoe kan men bewijzen dat voor elk natuurlijk getal geldt:

n! ≤ ((n+1)/2)ⁿ

Zijn er algemene veel gebruikte oplostechnieken voor dit soort vragen?

Mvg Zohrab
Zohrab
26-3-2025

Antwoord

Kijk naar het kwadraat van n! en schrijf dat als
(1\cdot n)\cdot(2\cdot(n-1))\cdots(n\cdot1)
Kijk naar een willekeurige factor k\cdot(n+1-k) en toon aan dat die kleiner dan of gelijk is aan (\frac{n+1}2)^2. (Hint: voor positieve getallen a en b geldt ab\le(\frac{a+b}2)^2.)
kphart
26-3-2025

Re: Bewijs

Hoe kom je aan k(n+1-k)? En wat is die ongelijkheid? Mag Zograbamir
Zohrab
27-3-2025

Antwoord

De derde factor is 3\cdot(n-2), en dan 4\cdot(n-3), zie je het patroon?

De ongelijkheid kun je inzien door (\frac{a+b}2)^2-ab uit te schrijven:

\frac14a^2+\frac12ab+\frac14b^2-ab=\frac14a^2-\frac12ab+\frac14b^2=(\frac{a-b}2)^2.

Deze heet de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde.

Een alternatief: de functie x\cdot(n+1-x) neem in \frac{n+1}2 zijn maximum aan.
kphart
28-3-2025