WisFaq!

Wanneer ik kan aantonen dat de som van twee overstaande hoeken in een vierhoek gelijk is aan 180 graden, heb ik dan bewezen dat er sprake is van een koordenvierhoek en dus dat alle vier de hoekpunten van de vierhoek op dezelfde cirkel liggen? Ik heb dan namelijk wel een erg simpele uitwerking voor een 'Afsluitende' vraag op 6 vwo-niveau.

Mijn uitwerking is namelijk als volgt: (vectoren kan ik niet mooi invoeren, zie ik, dus ik heb het even zo gedaan)
(1 4)-(3 0)=(-2 4)
(5 6)-(1 4)=(4 2)
(-2 4)·(4 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

(7 4)-(3 0)=(4 4)
(5 6)-(7 4)=(-2 2)
(4 4)·(-2 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

90 + 90 = 180, dus overstaande hoeken zijn 180 graden
Voor de andere twee hoeken: som vierhoek = 360, 360-180=180, dus ook deze overstaande hoeken zijn 180 graden.

Er is dus sprake van een koordenvierhoek en dus liggen punten A, B, C en D op één cirkel.
Leerli
15-1-2025

Antwoord

Dat is prima.

Je kunt ook de stelling van Thales gebruiken: de hoeken $\angle ACB$ en $\angle ADB$ zijn recht, dus $C$ en $D$ liggen op de cirkel die $AB$ als middellijn heeft.

Je kunt ook de coördinaten van $A$, $B$, $C$, en $D$ invullen in $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Dan zul je snel zien dat je met $a=4$, $b=3$, en $r^2=10$ vier kloppende vergelijkingen krijgt.
kphart
15-1-2025

Bewijs

Hoe kan je dit kort bewijzen met LK/RK=... LK/RK
I.e. "cos(2a)[1+16cos(2a)-(cos(4a))^2)] =2(cosa)^2+16(cos(2a))^4-(cos4a)^2-(cos8a)^2
Meliss
10-2-2025

Antwoord

Dat kan niet, vul $a=\frac\pi4$ in.
Links krijg je: $0\cdot(1+16\cdot0-(-1)^2)=0$.
Rechts krijg je: $2\cdot(\frac12\sqrt2)^2+16\cdot0^4-(-1)^2-1^2=-1$.
Declinker- en rechterkant zijn niet voor alle $a$ aan elkaar gelijk.
kphart
10-2-2025

Equivalente afstanden

Zij G een compacte Lie groep en g zijn Lie algebra, we kunnen op G een afstand definiëren via de geodesic distance. Ik vroeg me het volgende af: We weten dat exp:g- $>$ G een lokale diffeomorfisme is, dus er bestaan open U_1 en U_2 omgevingen van 0 en e resp. zodat exp:U_1- $>$ U_2 een diffeomorfisme is, kunnen we een C_1,C_2 $>$ 0 vinden zodanig voor elke Y in U_1, C_1|exp(Y)|_{geod}$ \le $ |Y|_{eucl}$ \le $ C_2|exp(Y)|_{geod}, met andere woorden zijn deze afstanden lokaal equivalent? Alvast bedankt.
Rafik
6-3-2025

Antwoord

Dat lijkt me wel: omdat het hier om een diffeomorfisme gaat is er een matrix $M$ zó dat
$$
\operatorname{exp} (x) = Mx +R(x)
$$
voor $x$ nabij $0$, en met $\lim_{x\to0}\frac{R(x)}{\|x\|}=0$. Die matrix is inverteerbaar dus er zijn positieve constanten $a$ en $A$ zó dat $a\|x\|\le \|Mx\|\le A\|x\|$ voor alle $x$. Gecombineerd met de eis op $R$ kun je een omgeving van $0$ vinden waarop je $C_1=\frac12a$ en $C_2=2A$ kunt nemen.
kphart
7-3-2025

Re: Equivalente afstanden

Begrijp ik het goed dat exp(x)=Mx+R(x) geldt omdat als we dim(G)=n noteren dan kunnen we G imbedden in R^{nxn} en g is isomorf met R^n dus krijgen we dat exp:R^n- $>$ R^{nxn} een lokale diffeomorfisme, zodat exp(x)=Mx rond een kleine omgeving van x. Ik begrijp wel niet zo goed hoe de inverteerbaarheid van M impliceert dat a|x|_{euclid} $<$ |Mx|_{geod} $<$ A|x|_{euclid}.

Rafik
7-3-2025

Antwoord

Inderdaad, je vertaalt alles naar omgevingen van $0$ in $\mathbb{R}^n$.

De geodeten zijn, nabij $0$, nagenoeg rechte lijnen en er geldt dat
$$\lim_{x\to0}\frac{\|x\|_2-\|x\|_g}{\|x\|_2} =0
$$Voor $a$ en $A$ heb je
$$a\|a\|_2\le \|Mx\|_2\le A\|x\|_2
$$Nu kun je, op de manier van gewone Analyse met meer variabelen, een kleine omgeving van $0$ vinden waarop
$$\frac12a\|x\|_g, \frac12a\|x\|_2 \le \|Mx\|_g \le 2A\|x\|_g, 2A\|x\|_2 $$
kphart
8-3-2025

Bewijs

Hallo, hoe kan men bewijzen dat voor elk natuurlijk getal geldt:

n! ≤ ((n+1)/2)ⁿ

Zijn er algemene veel gebruikte oplostechnieken voor dit soort vragen?

Mvg Zohrab
Zohrab
26-3-2025

Antwoord

Kijk naar het kwadraat van $n!$ en schrijf dat als
$$(1\cdot n)\cdot(2\cdot(n-1))\cdots(n\cdot1)
$$Kijk naar een willekeurige factor $k\cdot(n+1-k)$ en toon aan dat die kleiner dan of gelijk is aan $(\frac{n+1}2)^2$. (Hint: voor positieve getallen $a$ en $b$ geldt $ab\le(\frac{a+b}2)^2$.)
kphart
26-3-2025

Re: Bewijs

Hoe kom je aan k(n+1-k)? En wat is die ongelijkheid? Mag Zograbamir
Zohrab
27-3-2025

Antwoord

De derde factor is $3\cdot(n-2)$, en dan $4\cdot(n-3)$, zie je het patroon?

De ongelijkheid kun je inzien door $(\frac{a+b}2)^2-ab$ uit te schrijven:

$\frac14a^2+\frac12ab+\frac14b^2-ab=\frac14a^2-\frac12ab+\frac14b^2=(\frac{a-b}2)^2$.

Deze heet de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde.

Een alternatief: de functie $x\cdot(n+1-x)$ neem in $\frac{n+1}2$ zijn maximum aan.
kphart
28-3-2025

Volledige inductie

Hallo, hoe kan je met volledie inductie bewijzen dat
∀n∈N∖{0} : n $<$ 2ⁿ
Is dit een goede methode? Bij STAP 3 zit ik vast en bij 2 weet ik niet wat ik moet doen.
STAP 1: het geldt voor n=1
STAP2: veronderstel dat de formule geldt voor k-1
STAP 3: We bewijzen dat de formule geldt voor k

Groeten Hilde

Hilde
14-4-2025

Antwoord

Ja, dat is precies wat je moet doen; de meeste mensen formuleren Stap 2 als "veronderstel dat de formule geldt voor $k$" en Stap 3 als "we bewijzen dat de formule geldt voor $k+1$", maar dat is geen essentieel verschil.

Heb je bij stap 1 werkelijk nagegaan dat de ongelijkheid voor $n=1$ geldt?

Bij stap 2 heb je gedaan wat je moet doen: veronderstellen dat de formule geldt voor $k-1$, dat wil zeggen, je neem aan dat $k-1 < 2^{k-1}$.

Dat moet je in stap 3 gebruiken om te bewijzen dat $k < 2^k$. Die derde stap is het hart van het bewijs. Die zou er zo uit moeten zien:
a) Neem aan dat $k-1 < 2^{k-1}$
b) Een redenering die die aanname gebruikt en aan het eind concludeert dat
c) $k < 2^k$.

Probeer maar eens zo'n redenering op te zetten.

kphart
14-4-2025

Re: Volledige inductie

Beste kphart, ik heb STAP 3 zo aangepakt, maar dan heb ik wel even stap 2 veranderd naar: vernderstel dat de formule geldt voor k. Dus bij stap 3 heb ik: 2^k+1 $>$ k+1
2·2^k $>$ 2·k $>$ k+1
2^k $>$ k
Als ik bij beide leden deel door 2.
Bij deze vraag is er ook nog een deelvraag 'bewijs met de sandwichstelling/insluitstelling dat de limiet van un=n/3ⁿ 0 is.

Ik heb geprobeerd om 0 $<$ un $<$ ? maar aan de rechterkant vindt ik geen gepaste basislimiet...
Ik snap eigenlijk niet waarom deze vragensamenhoren.

Mvg Hilde
Hilde
15-4-2025

Antwoord

Het echte bewijs moet net andersom. Je moet beginnen met $2^k > k$, door met $2$ te vermenigvuldigen krijg je $2\cdot2^k > 2\cdot k$. Verder geldt $2k\ge k+1$ (als $k=1$ geldt gelijkheid). Samengenomen geeft dat $2^{k+1} > 2k\ge k+1$, en dus $2^{k+1} > k+1$.

Bij jouw volgorde begin je met wat bewezen moet worden en leidt je iets af dat al geldt. Dat is geen goed bewijs. Je moet beginnen met de aanname en eindigen met wat bewezen moet worden.

Voor het tweede deel: Omdat $n < 2^n$ (dat is net bewezen) kun je dit opschrijven:
$$0 < \frac{n}{3^n} < \frac{2^n}{2^n}=\left(\frac23\right)^n
$$en je hebt vast al geleerd dat $\lim_n (\frac23)^n=0$.

kphart
15-4-2025

Bewijs van twee stellingen

Hallo beste,
In mijn handboek staan er een aantal opgaven van rekenregels bewijzen van eindige limieten, de meeste heb ik zelf al kunnen oplossen omdat ze vrijwel analoog waren, maar bij deze zie ik niet hoe ik dit kan bewijzen.

a) lim ( k·un) = k· lim un (onder lim staat er n naar + oneindig)
b) lim (un^k) = (lim un)^k met k behorend tot N zonder 0.

Bij al de ander bewijzen moest je zo epsilon vervangen door epsilon/2 en zo, maar hier duidelijk niet...?

Mvg
Jean
Jean
17-4-2025

Antwoord

Bij a) kun je $\varepsilon$ vervangen door $\varepsilon/(|k|+1)$ (absolute waarde van $k$, en plus $1$ want $k$ zou nul kunnen zijn).

Bij b) moet je even naar $u_n^k-L^k$ kijken ($L$ is de limiet); daar kun je $u_n-L$ buiten de haakjes halen, bijvoorbeeld $u_n^3-L^3=(u_n-L)(u_n^2+u_nL+L^2)$, of $u_n^{-2}-L^{-2}=(L-u_n)\cdot\frac{L+u_n}{u_nL}$. Op een klein interval om $L$ kun je de rest afschatten met een vast getal.

Bijvoorbeeld: neem een $N_0$ zo dat $|u_n-L| < 1$ voor $n\ge N_0$, dan geldt $|u_n| < |L|+1$ voor die $n$ en dus
$$|u_n^2+u_nL+L^2|\le (|L|+1)^2+|L|\cdot(|L|+1)+L^2
$$Noem die uitdrukking $M$, dan heb je voor $n\ge N_0$ de ongelijkheid
$$|u_n^3-L^3| < M\cdot |u_n-L|
$$Nu kun je telkens $\varepsilon$ vervangen door $\varepsilon/M$ en de bijbehorende $N$ voorbij $N_0$ nemen.
kphart
18-4-2025