De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Bewijzen

Zwaartelijn in rechthoekige driehoek

Hoi,
Ik zoek eigenlijk een bewijs dat zegt dat de lengte van het stuk zwaartelijn naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek de helft is van de lengte van die schuine zijde.

Jozefi
17-2-2017

Antwoord

Printen
De rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek. Als je de driehoek aanvult tot de complete rechthoek, zie je het direct.

MBL
17-2-2017


Vectoren

Zou iemand me kunnen vertellen hoe je een vectorieel bewijs moet oplossen, ik snap het, maar vind nooit hoe je het moet doen. Zou u me een schema kunnen maken met de stappen in volgorde (als het kan).
Bedankt :)

Max
26-3-2017

Antwoord

Printen
Op Vectorieel bewijs zwaartepunt staat een uitgebreid voorbeeld. Bedoel je dat?

Geef anders een voorbeeld van het soort opgave dat je wilt maken. Lees dan meteen nog even de spelregels.

WvR
26-3-2017


$\det A\cdot \det A^{-1}=1$

Beste, ik moet voor school een jaartaak maken over determinanten en inversen. Hierbij ben ik al vrij ver gekomen, maar ik moet de bovenstaande stelling nog kunnen bewijzen. Ik heb hier echter geen enkel idee over. Ik heb het al opgelost aan de hand van een voorbeeld, en dit klopte, maar ik weet niet hoe ik dit algemeen moet aanpakken. Alvast bedankt
MVG Luna

Luna
5-4-2017

Antwoord

Printen
Meestal wordt dat als gevolg gepresenteerd van de algemene stelling $\det(AB)=\det A\cdot\det B$. Dan kun je $A^{-1}$ voor $B$ invullen en met $AA^{-1}=I$ volgt dan dat $\det A\cdot \det A^{-1}=1$.

kphart
5-4-2017


Gelijke cirkels

Maak een willekeurige driehoek ABC met hoogtepunt P. Bewijs dat de cirkel door A,B en P even groot is als de omgeschreven cirkel van driehoek ABC

Emmy
5-4-2017

Antwoord

Printen
Hallo Emmy,

We bekijken een driehoek $ABC$ met hoogtepunt $P$. De hoogtelijnen vanuit $A$, $B$ resp. $C$ snijden de overstaande zijde in $D$, $E$ resp. $F$. We spiegelen nu punt $P$ in $F$ en krijgen $P'$. In de figuur is de situatie getekend (met voor het gemak $P$ in het binnenste van de driehoek).

q84234img1.gif

Merk nu op dat $\Delta AFP \sim \Delta ADB$ (hh) en dus $\angle APF = \angle ABC$.
Op dezelfde wijze geldt $\angle BPF = \angle BAC$.

Ook geldt dat $\Delta AFP' \cong \Delta AFP$ en $\Delta BFP' \cong \Delta BFP$ (ZHZ).
Daaruit halen we dat $\angle AP'B = \angle APB = \angle APF + \angle BPF = \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ - \angle BCA$.

Daaruit volgt dat $\angle AP'B + \angle BCA = 180^\circ$ en dus is $ABCP'$ een koordenvierhoek, of anders gezegd, ligt $P'$ op de omgeschreven cirkel van $ABC$.

Merk nu op dat $\Delta APB \cong \Delta AP'B$ en dat hun omgeschreven cirkels dus even groot zijn. En we zijn rond.

Met vriendelijke groet,

FvL
5-4-2017


Re: Gelijke cirkels

Ik snap niet hoe (Merk nu op dat AFPADB (hh) en dus APF=ABC .
Op dezelfde wijze geldt BPF=BAC ). Hoe kan het zijn dat hoek P en Hoek A, Hoek P en hoek B hetzelfde zijn?

Emmy
6-4-2017

Antwoord

Printen
Hallo Emmy,

Kijken we naar $\Delta AFP$ en $\Delta ADB$, dan hebben ze dezelfde hoek bij A. Bovendien is in $\Delta AFP$ de hoek bij F recht, en in $\Delta ADB$ de hoek bij D. Ze hebben dus twee gelijke hoeken. Samengevat:
  • $\angle FAP = \angle DAB$ (zelfde hoek)
  • $\angle AFP = \angle ADB=90^\circ$
Dan zijn automatisch de derde hoeken ook gelijk. Immers, de drie hoeken zijn samen 180° in elke driehoek.

Dus $\angle APF = 180^\circ - \angle AFP - \angle FAP = 180^\circ - \angle ADB - \angle DAB = \angle ABC$.

Voor $\angle BPF = \angle BAC$ kun je dezelfde redenering gebruiken, maar dan met driehoeken $\Delta BPF$ en $\Delta BAC$.

Duidelijk zo?

Groetjes,

FvL
6-4-2017


Pentagram en gulden snede

Hoe moet je in een pentagram of vijfpuntige ster aantonen dat |AB|/|BC|=phi?
A-C is het horizontale langste lijndtuk.
B wordt geplaatst op het tweede snijpunt op AC.



Ik hoop dat u mij kunt verder helpen en alvast bedankt!

Bram
10-4-2017

Antwoord

Printen
Kijk naar de hoeken en bekijk de figuur op regelmatige vijfhoek en gulden driehoeken. Volgens mij ben je dan een heel eind?

WvR
10-4-2017


Moeilijk bewijs

Hallo beste beantwoorder,

We hebben het volgende vraagstuk gekregen, maar geen flauw idee hoe dit op te lossen. Is er iemand die ons op weg kan helpen?

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven:
P1,P2…,P11. Voor elk tweetal punten geldt: afstand Pp Pq≤1.
Bewijs dat de som van alle (55) afstanden Pp Pq ,1 ≤i≤j≤11 kleiner is dan 30.

Bedankt

Tom
16-5-2017

Antwoord

Printen
Nummer de punten, van links naar rechts: $P_1$, ..., $P_{11}$.
Splits je totale som in deelsommen
eerst $\sum_{i=1}^{10} P_{i+1}-P_i$ (alle paren die $1$ verschillen in hun index); die som is gelijk aan $P_{11}-P_1$ en dus kleiner dan $1$.

Dan de paren waarvan die $2$ verschillen in hun index) dat worden twee sommen: $(P_3-P_1)+(P_5-P_3)+(P_7-P_5)+(P_9-P_7)+(P_{11}-P_9)$ en $(P_4-P_2)+(P_6-P_4)+(P_8-P_6)+(P_{10}-P_8)$ die twee leveren $P_{11}-P_1$ en $P_{10}-P_2$ op en die zijn kleiner dan $1$.
Ga zo verder.

kphart
16-5-2017


Re: Moeilijk bewijs

Dankuwel voor uw aanzet. Ik heb voor alle paren waarvan hun index verschillen van 1 tot en met 10 de som van de afstanden uitgeschreven. Echter kan ik hieruit niet afleiden dat de som van alle 55 afstanden kleiner is dan 30.

Nu vraag ik me af of datgene wat ik heb uitgeschreven wel klopt. Bij de paren die 6 verschhillen in hun index krijg ik bijvoorbeeld: (P7 - P1) + (P8 - P2) + (P9 - P3) + (P10 - P4) - (P11 - P5) en die leveren de twee sommen P11 - P1 en P10 - P2. Samen zijn die sommen kleiner dan 2. Ik heb dit bij alle mogelijke paren op deze manier uitgeschreven. Bij de paren die in hun index verschillen van 2 tot en met 9 krijg ik steeds 2 verschillende sommen. Bij de paren die in hun index 1 of 10 verschillen krijg ik slechts één som.
Ik weet niet of deze manier goed is.

Is er overigens een mogelijkheid dat ik hier een afbeelding kan toevoegen met mijn uitwerking? Misschien dat het met een afbeelding duidelijker wordt wat ik fout doe.

Alvast bedank voor een reactie.

Tom
16-7-2017

Antwoord

Printen
Bij de paren die $6$ verschillen gaat je aanpak mis als $P_7$ heel dicht bij $1$ ligt (en dus $P_8$, ..., $P_{11}$ ook) en $P_5$ heel dicht bij $0$ (en $P_4$, ..., $P_1$ ook). Je som met vijf termen ligt dat dicht bij $5$ en dat is toch (veel) meer dan $P_{11}-P_1+ P_{10}-P_2$ (die is kleiner dan $2$).

Het punt is dat in je som met vijf termen niets tegen elkaar wegvalt: $(P_7-P_1)+(P_8-P_2)+(P_9-P_3)+(P_{10}-P_4)+(P_{11}-P_5)$ is gelijk aan $(P_{11}-P_1)+(P_{10}-P_2)+(P_9-P_3)+(P_8-P_4)+(P_7-P_5)$ (en je kunt niets weglaten).

Ik heb een blogpost over deze vraag geschreven, zie hieronder.
Zie Moeilijk bewijs(?)

kphart
16-7-2017


Omgekeerde eigenschap hoogtelijn rechthoekige driehoek

Bewijs volgende stelling: 'Als in een driehoek de hoogtelijn op een zijde middelevenredig is tussen de stukken waarin ze die zijde verdeelt, dan is de driehoek rechthoekig.'

GEGEVEN: driehoek ABC, h is hoogtelijn uit A op [BC], D is snijpunt van h en [BC]. Hoek D is dus 90·. Ook nog: |BD|/|AD|=|AD|/|DC|

TE BEWIJZEN: Hoek A is 90·

BEWIJS: Indien je gelijkvormigheid kan aantonen van driehoek ABD en driehoek CAD, dan is hoek A2 = hoek C (ook hoek B = hoek A1) vanwege de definitie van gelijkvormige driehoeken. Dan kan je zeggen dat hoek A1=180·-hoekD-hoekC=90·-hoekC (hoekensom driehoek=180·)
$\Rightarrow$ A1=90·-A2
$\Rightarrow$ A1+A2=90·
$\Rightarrow$ A=90·

Ik heb echter moeite met het vinden van een derde evenredigheid van lijnstukken (Z/Z H Z/Z). Je hebt D=D=90 en de gegeven evenredigheid, maar wat neem je als derde?

Thibau
19-8-2017

Antwoord

Printen
Je hebt als gegeven dat $BD:AD=AD:DC$, dat kun je ook schrijven als
$$
BD=\frac{AD}{DC}\cdot AD
$$
er geldt natuurlijk ook dat
$$
AD=\frac{AD}{DC}\cdot DC
$$
Pas nu de stelling van Pythagoras toe:
$$
AB^2=BD^2+AD^2 = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2(AD^2+DC^2) = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2\cdot AC^2
$$
en daar is je derde evenredigheid.

kphart
19-8-2017


Bewijs overstaande hoeken gelijk

Hoe kun je bewijzen dat overstaande hoeken gelijk zijn?

sten
26-9-2017

Antwoord

Printen
Hallo Sten,

Hieronder zie je twee snijdende lijnen:

q85085img1.gif

Hoek a en hoek c zijn overstaande hoeken. We kunnen als volgt bewijzen dat deze gelijk zijn:

Hoek a + hoek b = 180° (gestrekte hoek)
dus:
Hoek a = 180° - hoek b.

Hoek c + hoek b = 180° (gestrekte hoek)
dus:
Hoek c = 180° - hoek b.

Hieruit blijkt dat hoek a en hoek c beide gelijk zijn aan 180° - hoek b, hoek a en hoek b zijn zodoende gelijk.

GHvD
26-9-2017


Bewijs gulden snede in pentagram

Van mijn leerkracht moet ik een onderzoeksopdracht maken over de gulde snede. Hij stelde enkele vragen om ons op weg te helpen en de antwoorden moesten we dan verwerken in onze scriptie. Hiervoor mochten we het internet gebruiken. Tot nog toe heb ik alle vragen kunnen beantwoorden behalve deze. Ik vind nergens een deftig bewijs voor deze vraag:

Een Pentagram of vijfpuntige ster is een van de oudste symbolen die we kennen. Door de eeuwen heen kreeg deze figuur een magische betekenis. Toon aan dat |AB|/|BC|=φ

AC is hier het horizontale lijnstuk van de ster en B zou de gulde snede van dit lijnstuk moeten zijn.

Kunnen jullie een mooi simpel bewijs hiervoor geven?

Tom vr
7-11-2017

Antwoord

Printen
Deze vraag is al eerder beantwoord. Kijk maar 's op Pentagram en gulden snede en de vermelde link...

WvR
8-11-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker