De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Algebra

Vectorruimte

Beste, ik moet bewijzen dat dit een vectorruimte is:
EX={[■(x@y)] x,y ∈R} $\to$ 2x1 matrice
waarbij [■(x1@y1)]+ [■(x2@y2)]= [■(x1+x2+1@y1+y2-1)]
r· [■(x@y)]= [■(rx+r-1@ry-r+1)] (dit zijn allemaal 2x1 matrices.
Ik weet echter helemaal niet hoe ik hieraan moet beginnen (ik weet wel al dat het inwendig is). Voor de rest weet ik echt niet hoe ik dit moet gaan bewijzen.
Kunnen jullie mij helpen?

Mvg
Danielle

daniel
22-1-2017

Antwoord

Printen
Je hebt een alternatieve `optelling':
$$
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1+x_2+1,y_1+y_2-1)
$$en een alternatieve scalaire vermenigvuldiging:
$$
r\odot(x,y) = (rx+r-1,ry-r+1)
$$Nu moet je alle regels van `vectorruimte' in deze situatie nalopen; bijvoorbeeld, de nul voor de optelling is nu $(-1,1)$: reken maar na dat
$$
(x,y)\oplus(-1,1)=(x,y)
$$Iedere keer gaat het het best als je precies uitschrijft wat de linker- en rechterkant worden.

kphart
22-1-2017


Vergelijking oplossing

Waarom kan je bij de vergelijking
2x·3x = 3x
niet beide kanten door 3x delen?
(2x·3x)/3x = 3x/3x
hieruit volgt
2x = 1
x = 1/2
De antwoorden zijn x = 0 en x = 1/2
Waarom is deze methode van oplossen niet goed?
Alvast bedankt!

jaap
31-1-2017

Antwoord

Printen
Beste Jaap,

Delen is gevaarlijk: je mag immers niet delen door 0...! Als je zou willen delen door 3x, dan mag dat alleen als 3x verschilt van 0. Maar dan moet je even apart nagaan wat er gebeurt wanneer 3x wél gelijk is aan 0 en dat gebeurt natuurlijk precies wanneer x zelf gelijk is aan 0. Invullen toont dat ook x = 0 voldoet en dus een oplossing van de vergelijking is.

Het onderscheiden van gevallen kan wat omslachtig worden en je kan het vermijden door bijvoorbeeld naar 0 te herleiden en te ontbinden in factoren:
$$2x \cdot 3x = 3x \iff 2x \cdot 3x -3x = 0 \iff 3x\left(2x-1 \right)= 0$$Gebruik dan de eigenschap dat een product 0 wordt indien minstens één van de factoren 0 wordt, dus indien...

mvg,
Tom

td
31-1-2017


Gebroken machten

Hallo,

Ik heb een vraag over gebroken exponenten en negatieve gebroken exponenten. Op zich gaat dit goed, maar nu kom ik twee tegengestelde bewerkingen tegen, wat verwarrend is.

Voorbeelden, met eigen oplossing
Voorbeeld 1:
x2/3√x4=
=x2/x4/3
= 22-(4/3) Delen is aftrekken
=x2/3

Voorbeeld 2:
3√x/6√x2
=x1/3/x2/6
=x1/3/x1/3
=x1/3-1/3 Delen is aftrekken
=x°
=1

Zoe doe ik deze zelf. Nu kom ik een opgave tegen waarin ze dit anders doen, het volgende:

Zie voorbeeld 1:
x2/3√x4=
=x2/x4/3
=x2·x3/4
=x23/4

Wat ze hier doen is: Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde 3/4. En daarna de exponenten als gevolg van de vermenigvuldiging bij elkaar optellen.

Mijn vraag is: Welke is nu goed?
De x2/3 die ikzelf heb uitgerekend of de x23/4 waar de gehele opgave op gebaseerd is.

Wat gaat voor?
Delen is aftrekken
Of
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde en daarna de exponenten als gevolg van de vermenigvuldiging bij elkaar optellen.

Als dit zo is dan zou ik bij voorbeeld 2 uit moeten koem op:
3√x/6√x2
=x1/3/x2/6
=x1/3/x1/3
=x1/3·3/1 Delen door een breuk is vermenigvuldigen medet het omgekeerde.
Vanwege de vermenigvuliging exponenten bij elkaar optellen.
=x31/3

Dus 31/3 en geen 1??

Bij voorbaat dank.

Groet Kees

Kees
4-2-2017

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Ik weet niet wie 'ze' zijn die dit anders doen, maar je kunt beter nooit meer naar die 'ze' luisteren! Jouw methode is prima, blijf dit vooral zo doen.

GHvD
4-2-2017


Re: Gebroken machten

Hoi,

Ik doe veel oefenopgaven die ik op internet vind, daar kom je dit soort fouten tegen, dat is wel verwarrend.
Het voorgaande kwam na een opgave waar het volgende uitkwam:

Aan het einde kwam eruit:
Zelf heb ik dit zo opgelost:
G2/3=5,07
G=(5,07)^(1/[2/3])
G=11,4

Oplossing opgave:
G2/3=5,07
G=(5,07)3/2

Een breuk met alleen een 1 in de teller kan dit wel:
1/[2/3]= [1/1]·[3/2]=[3/2]

1/[2/3]=1,5 en
[3/2]=1,5

Daarna hebben ze deze bewerking ook in de volgende oefening doorgevoerd. Maar daar stond dus:
x2/3√x4
(x2gedeeld door derdemachtswortelx4)

Groet Kees

Kees
4-2-2017

Antwoord

Printen
Tja, 'delen door een breuk', zoals:

q83827img1.gif

is heel wat anders dan 'delen door een gebroken macht', zoals:

q83827img2.gif

Hier horen dan ook verschillende rekenregels bij.

GHvD
5-2-2017


Gebroken machten

Hallo,

In een opgave staat het volgende als antwoord:

4√[1/x]
[1/x]staat onder de wortel

= 4√[1/x]
= 4√x-1
= (x-1)^1/4
= x-11/4
= x^-1/4

Mijn vraag is waar blijft hier de -1 ?
Is dit getal·teller? Zo ja, Waarom?

Andre opgave waarbij het weer niet hoeft:
4√x6
=x^(6/4)
=x1,5

Hier laat je de 1,5 in de exponent staan.

Waarom haal je in het eerste gaval de 1 uit de exponent en in het tweede geval niet?

Groet Kees

Kees
4-2-2017

Antwoord

Printen
Volgens de rekenregels voor machten geldt ${(g^a)}^b=g^{a \times b}$
Passen we dit toe op ${(x^{-1})}^{\frac{1}{4}}$ dan krijgen we $x^{-1\times \frac{1}{4}}=x^{- \frac{1}{4}}$

In het tweede voorbeeld krijgen we ${(x^6)}^{\frac{1}{4}}=x^{6 \times \frac{1}{4}}=x^{\frac{6}{4}}=x^{\frac{3}{2}} $

hk
4-2-2017


Gebroken machten en wortels

Hallo,

Ik heb een aantal vragen over de rekenregel:
√(a·b)=√a·√b

Voorbeeld:
√(54)=√(9·6)=√9·√=3√6

Voorbeeld:

3√5·6
=((5·6)1.3)1/2
=(5·6)1/6
=51/6·61/6

3√5·6 staat hierbij onder de eerste wortel.
Vraag 1
Mag je dit dan schrijven als 302/6
??

Vraag 2
En als 6√(302)
??

Ik weet bij het vermenigvuldigen van machten dat het Grondtal gelijk blijft en tel je de exponenten op.
23·25=28

Maar toch, is het dan 5·6=30 ??

Vraag 3
Zo ook bij:
√11·3√11
Ook hier staat 3√11 onder √11

√11·3√11
=√11·111/3
=111/2·(111/3)1/2
=111/2·111/6
=113/6·111/6
=114/6
=112/3

Mijn vraag gaat over dit gedeelte:
=√11·111/3
11·111/3 staat in zijn geheel onder de wortel

=√11·111/3
=√11·√111/3

Waarom vermenigvuldig je niet 11·11=1211/3?

Is eigenlijk hetzelfde als bij vraag 1, waaqrom vermenigvuldig je de wortels niet.? De 5 en 6 omdat ze niet gelijksoortig zijn (a·b)?
a6·a3=a9
23·25=28

a6·b3=a6b3
51/6·61/6=51/6·61/6

Welke regel gaat nou op??

Groet Kees

Kees
6-2-2017

Antwoord

Printen
Vraag 1 en 2: nee. Noem $5^{\frac16}$ even $a$ en $6^{\frac16}$ even $b$. Dan weet je dat $a^6=5$ en $b^6=6$ en dan volgt $(ab)^6=abababababab=aaaaaabbbbbb=a^6\cdot b^6=5\cdot6=30$, en dus is $ab$ gelijk aan $30^{\frac16}$. (De zesde macht van $30^{\frac26}$ is gelijk aan $30^2$ en dat is $900$.)
Bij vraag 3: Je eerste berekening is goed $11\cdot11^{\frac13}=11^{\frac43}$ en dan worteltrekken geeft $11^{\frac23}$.
Wat hier aan de hand is is dat er allerlei haakjes weggelaten zijn. Je moest bij je vragen telkens zeggen wat nog onder het wortelteken hoorde; dat had niet gehoeven als je overal haakjes had ingevoegd: $\sqrt{}\bigl(\sqrt[3]{}(5\cdot 6)\bigr)$ (in $\sqrt{\sqrt[3]{5\cdot 6}}$ werken de strepen boven de uitdrukking als haakjes) en $\sqrt{}\bigl(11\cdot\sqrt[3]{}(11)\bigr)$ (of $\sqrt{11\cdot\sqrt[3]{11}}$ met streepjes).

Nu kun je ook zien dat het in de eerste uitdrukking om $30^{\frac16}$ gaat: $\sqrt[3]{5\cdot6}$ is hetzelfde als $\sqrt[3]{30}$.
En bij de tweede uitdrukking staat $11\cdot\sqrt[3]{11}$, dus de $\frac13$ in $11\cdot11^{\frac13}$ hoort alléén bij de tweede $11$.

kphart
6-2-2017


Vereenvoudigen vergelijking

Ik zat laatst te denken, waarom mag je bij een vergelijking wortels trekken, of kwadrateren aan beide kanten. Theoretisch gezien doe je bij de volgende vergelijking het volgende:

√y = x

om deze vergelijking op te lossen, kwadrateren we beide kanten. We krijgen nu

y = x2

Wat er nu eigenlijk gebeurt is het volgende

√y·√y = x·x

de linker kant wordt dus met √y vermenigvuldigd, de rechterkant met x. Waarom mag dit eigenlijk, de regels zijn toch, wat je aan de linker kant doet moet je ook aan de rechter kant doen.

Dus links 3 aftrekken betekent rechts 3 aftrekken. In dit geval, links vermenigvuldigen met √y betekent rechts vermenigvuldigen met √y en dus niet met x. Wat ik nu stel geld niet, maar waarom eigenlijk niet?

Mees
7-2-2017

Antwoord

Printen
Je vermenigvuldigt links en rechts met hetzelfde want $\sqrt y=x$

kphart
7-2-2017


Delen met letters

Geachte heer/mevrouw,
Kunt u mij aub deze 2 vragen uitleggen:
-14xy3 : -28x2y = 1/2 xy2. Mag ik het antwoord zo opschrijven of moet ik de xy2 ook als een breuk opschrijven, waarbij de 1y2in de teller staat en de 2x in de noemer.

Hoe moet ik een som oplossen als de macht van de noemer groter is dan de macht van de teller.
bv. 38x5y2 : -19x3y5. Is het goed als ik in de teller -2x2 heb en in de noemer 1y3?

Met vriendelijke groet,
Marieke

Mariek
8-2-2017

Antwoord

Printen
Ik zal je antwoorden geven:

$
\eqalign{
& \frac{{ - 14xy^3 }}
{{ - 28x^2 y}} = \frac{{y^2 }}
{{2x}} \cr
& \frac{{38x^5 y^2 }}
{{ - 19x^3 y^5 }} = - \frac{{2x^2 }}
{{y^3 }} \cr}
$

Het eerste antwoord is niet niet helemaal duidelijk en dat is dan niet goed.

Bij het tweede antwoord kan je de $1$ van $1y^3$ weglaten, maar dan klopt het als een bus.

WvR
8-2-2017


Re: Gebroken machten en wortels

Hallo,

Als ik het goed begrijp, had er gestaan:
51/6·51/6=52/6=51/3
en geen
252/6=251/3

Het Grondtal verandert niet.

√11=111/2
Het getal 11 onder de wortel is hier het Grondtal, wordt dus ook niet vermeniigvuldigd.

Ik heb dan alleen nog een vraag over:
2a2+2a3=
a is het grondtal
Maar mag je deze 2+2 bij elkaar optellen, de ene 2 hoort bij a2 de andere bij a3.
Is de uitkomst dan
2a2+2a3=2a2+2a3(kan niet korter)

En bij:
2a2·4b2=
Is dit dan
2a2·4b2=2a2·4b2
Of
2a2·4b2=8a2b2

Ik heb hier erg veel moeite mee.

Bij voorbaat dank.

Groet Kees

Kees
8-2-2017

Antwoord

Printen
Bij $5^{\frac16}\cdot5^{\frac16}$ kun je doen wat jij deed of er $(5\cdot5)^{\frac16}=25^{\frac16}$ van maken (gelijke exponenten dus mag je grondtallen vermenigvuldigen).
Bij $2a^2+2a^3$ kun je dingen buiten de haakjes halen, bijvoorbeeld de $2$, dus $2(a^2+a^3)$, en ook nog de $a^2$ met als resultaat $2a^2(1+a)$. Verder is er niet veel mee te doen.
Bij je laatste voorbeeld kun je gebruiken dat je factoren van verwisselen en dan kun je er inderdaad $2\cdot4\cdot a^2\cdot b^2=8a^2b^2$ van maken.

kphart
8-2-2017


Exponentiële (logaritmische) vergelijking oplossen

Beste,

Ik heb een vraag omtrent het oplossen van een logaritmische/exponentiële vergelijking. De volgende vergelijking is gegeven:

52x-1 = 2x oplossen naar x

ik geraak tot de volgende vergelijking:

x = 1 / (2 - log5(2))

De oplossing zou moeten zijn:

x = In(5) / (2ln(5) - ln(2))

Hoe kom ik aan de gegeven oplossing? Wetende dat ln(x) = Log e (x)

Met vriendelijke groet,

Camille

Camill
8-2-2017

Antwoord

Printen
De eerste stap kan zijn (2x-1)Ln(5) = xLn(2) maar je kunt ook in zee gaan met een ander grondtal.
Haakjes wegwerken en sorteren levert op x(2Ln(5) - Ln(2)) = Ln(5) waarmee je er bent.

Overigens hoef je in de eerste stap niet verplicht te kiezen voor het grondtal e. Je kunt elk gewenst grondtal kiezen maar uiteraard links en rechts wel hetzelfde. Het kan daardoor lijken dat je een ander antwoord hebt gekregen maar dat is dan niet echt het geval.
Omdat je niet laat zien wat je gedaan hebt, is niet te zien waar je wellicht bent uitgegleden.

MBL
8-2-2017


Domein bepalen van een ongelijkheid

De opgave is de volgende:

Bepaal het domein van s, als (s-1)/(1-2s) de sinus van de hoek alpha is.
Ik weet dat een sinuswaarde steeds tussen -1 en 1 ligt. Dus je krijgt de volgende ongelijkheid (met

-1$\le$ (s-1)/(1-2s)$\le$ 1
als ik deze probeer verder uit te werken krijg ik het volgende:
s $\le$ 0 $\le$ -3s

Hoe werk ik dit verder uit?

Camill
8-2-2017

Antwoord

Printen
Dat was niet zo handig: met $1-2s$ vermenigvuldigen houdt alleen de ongelijkheden intact als $1-2s $>$ 0$, dus als $s $<$ \frac12$.
Als je deze weg wilt volgen moet je als volgt werken:
geval 1: $1-2s $>$ 0$, dan levert je vermenigvuldiging wat je had maar samen genomen met $s $<$ \frac12$. Je hebt dan dus $s\le0$ en $s\le0$ (van $0\le-3s$) en $s $<$ \frac12$.
Geval 2: $1-2s $<$ 0$, dan kom je uit op $s\ge0\ge-3s$ samen met $s $>$ \frac12$.

kphart
8-2-2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker