Vraagstukken met afgeleide

Beschouw een omgekeerd biervat in de vorm van een kegel, dit wordt aangevuld met bier aan een constante snelheid van 1/2500 kubieke meter per minuut, het volume van een kegel wordt gegeven door V = $\pi$ · r² · h/3, waarbij r de straal van het grondvlak en h de hoogte van de kegel.

1. Als de hoogte van het bier in het vat 0,2 m bedraagt, hoe snel verandert de hoogte dan?
2. Er is ook een lek aan de onderkant van de kegel, hierdoor stroomt er h³/100 kubieke meter per minuut uit het vat, hoe verandert de hoogte van het bier in het vat op 0,2 m?

Student universiteit België - maandag 15 januari 2024

Antwoord

Er geldt dat $r=ah$ met $a$ een constante: $\eqalign{\frac rh=\sin\alpha}$, waarbij $\alpha$ de halve tophoek van de kegel is (teken een zij-aanzicht van de kegel).

Dus $\eqalign{V(t)=\frac\pi3a^2h(t)^3}$, dus $V'(t)=\pi a^2\cdot h(t)^2\cdot h'(t)$.

In Opdracht a) is $V'(t)$ ook gelijk aan $\eqalign{\frac1{2500}}$, en $h(t)=0.2$, dus je kunt $h'(t)$ uitrekenen.

In Opdracht b) heb je $\eqalign{V'(t)=\frac1{2500}-\frac{h(t)^3}{100}}$, en weer $h(t)=0.2$.

kphart
dinsdag 16 januari 2024

©2004-2024 WisFaq