Definitie van continuïteit

Hallo Wisfaq,

Algemene definitie van continuïteit gelezen in een wiskundeboek :

Beschouw de topologische ruimten A,T(A) en B,U(B)
Een functie f van A,T(A) naar B,U(B) is continu in a element van domf als en slechts als er voor elke omgeving V' van f(a) een omgeving V van a bestaat zodanig dat fV een deelverzameling is van V'.

Stelling :
Beschouw de topologische ruimte R,T(R)
Een functie f van R,T(R) naar R,T(R) is continu in a element van domf als en slechts als voor iedere epsilon $>$ 0 een delta $>$ 0 bestaat zodat f]a-delta,a+delta[ een deelverzameling is van ]f(a)-delta,f(a)+delta[

Verder hebben we de definitie van een omgeving V van a :
Een deelverzameling V van R is een omgeving van a als en slechts als er een open verzameling D bestaat die a bevat en die deelverzameling is van V.

Dus in feite is het gesloten interval [a-delta,a~delta] ook een omgeving van a aangezien ]a-delta,a+delta[ een open deelverzameling is van [a-delta,a+delta]

Mag ik dan de open intervallen in bovenstaande stelling vervangen door gesloten intervallen of impliceert R,T(R) dat je enkel met open omgevingen (intervallen) werkt?

Wat maakt dat het werken met open intervallen zo essentieel is bij het bepalen van continuïteit, maw wat kunnen we met open intervallen bereiken wat we niet kunnen bereiken met gesloten intervallen ?

En dus waarom zouden we het gelijkheidsteken niet toevoegen in onderstaande definitie?

Voor iedere epsilon $>$ 0 bestaat er een delta $>$ 0 zodat als |x-a| $<$ delta er geldt dat |f(x)-f(a)| $<$ epsilon wordt dan:

Voor iedere epsilon $>$ 0 bestaat er een delta $>$ 0 zodat als |x-a| $\le$ delta er geldt dat |f(x)-f(a)| $\le$ epsilon ?

Met dank,

Rudi

Rudi
Ouder - dinsdag 2 november 2021

Antwoord

In het metrische geval, en dat hebben we als het om $\mathbb{R}$ gaat, zijn $<$ en $\le$ inderdaad gelijkwaardig.
Dat komt omdat je $\varepsilon$ en $\delta$ altijd door $2$ kunt delen.

Uit de formulering met $<$ kun je die met $\le$ afleiden en omgekeerd.

Van $<$ naar $\le$: neem gegeven $\varepsilon>0$ een passende $\delta>0$.
Dan geldt: als $|x-a|\le\frac12\delta$ dan $|x-a|<\delta$ en dus $|f(x)-f(a)|\le\varepsilon$.

Omgekeerd: als $\varepsilon>0$ gegeven is neem dan $\delta$ passend bij $\frac12\varepsilon$.
Dan geldt: als $|x-a| < \delta$ dan $|f(x)-f(a)|\le\frac12\varepsilon < \varepsilon$.

kphart
dinsdag 2 november 2021

Re: Definitie van continuïteit

©2001-2024 WisFaq