Bepaling limieten via definitie 5

a) Bewijs dat de limiet van x-5 voor (x$\to$-oneindig) =
-oneindig

Definitie : Voor iedere M $<$ 0 bestaat er een m $<$ 0 zodat als x $<$ m er geldt dat f(x) = x-5 $<$ M

Laat M $<$ -5

Uit f(x)=x-5 $<$ M volgt x $<$ M+5

Stel dan m = M+5 dan geldt er voor x $<$ m dat f(x)=x-5 $<$ M

b) Bewijs dat de limiet van x-5 voor (x$\to$+oneindig) =
+oneindig

Definitie : Voor iedere M $>$ 0 bestaat er een m $>$ 0 zodat als x $>$ m er geldt dat f(x) = x-5 $>$ M

Laat M $>$ 0

Uit f(x)=x-5 $>$ M volgt x $>$ M+5

Stel dan m = M+5 dan geldt er voor x $>$ m dat f(x)=x-5 $>$ M

Kloppen beide bewijzen en zijn zij duidelijk genoeg neergeschreven ?

Met dank !

Rudi
Ouder - zondag 5 september 2021

Antwoord

Hier zit een kleine fout (in beide bewijzen).

Je stelt vast: als $f(x) < M$ dan $x < M+5$.

Je gebruikt: als $x < M+5$ dan $f(x) < M$.

Dan is in het algemeen zijn "als A dan B" en "als B dan A" niet dezelfde beweringen. Hier heb je het geluk dat $x
Ik zou het hier als volgt formuleren:

"aangezien $x-5 < M$ equivalent is met $x < M+5$ kunnen we bij gegeven $M$ telkens $m$ gelijk aan $M+5$ nemen".

kphart
maandag 6 september 2021

©2001-2024 WisFaq