Bepaling limieten via definitie 2

lim(1/(1+x)) voor (x$\to$1) = 1/2

Definitie : Voor elke e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0 zodanig dat 0 $<$ |x-1| $<$ d impliceert dat 0 $<$ |1/(x+1)-1/2| $<$ e

Zij e $>$ 0

kies d $<$ 2 zodat 2-d $>$ 0

|x-1| $<$ d is equivalent met -d $<$ x-1 $<$ d

a) Beschouw x $<$ 1 (linkerzijde) : -d $<$ x-1 $<$ 0
$\Rightarrow$ 2-d $<$ x+1 $<$ 2
$\Rightarrow$ 1/(2-d) $>$ 1/(x+1) $>$ 1/2
$\Rightarrow$ 1/(2-d)-¹/₂ $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ 1/2-1/2
$\Rightarrow$ [2-(2-d)]/[2(2-d)] $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ 0
$\Rightarrow$ d/[2(2-d)] $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ 0

b) Beschouw x $>$ 1 (rechterzijde) : 0 $<$ x-1 $<$ d
$\Rightarrow$ 2 $<$ x+1 $<$ d+2
$\Rightarrow$ ¹/₂ $>$ 1/(x+1) $>$ 1/(d+2)
$\Rightarrow$ 1/2-¹/₂ $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ 1/(d+2)-1/2
$\Rightarrow$ 0 $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ [2-(d+2)]/[2(d+2)]
$\Rightarrow$ 0 $>$ 1/(x+1)-¹/₂ $>$ -d/[2(d+2)]

c) Uit -d $<$ d
$\Rightarrow$ 2-d $<$ 2+d
$\Rightarrow$ 1/(2-d) $>$ 1/(2+d)
$\Rightarrow$ 1/[2(2-d)] $>$ 1/[2(2+d)]
$\Rightarrow$ -d/[2(2-d)] $<$ -d/[2(2+d)]

Uit (a), (b) en (c) volgt dan het onderstaande
-d/[2(2-d)] $<$ -d/[2(2+d)] $<$ 1/(x+1)-¹/₂ $<$ d/[2(2+d)]
of
-d/[2(2-d)] $<$ 1/(x+1)-¹/₂ $<$ d/[2(2-d)]
of
|1/(x+1)-1/2| $<$ d/[2(2-d)]

Kies dan d = 4e/(1+2e) $<$ 2 zodat
|1/(x+1)-1/2| $<$ [4e/(1+2e)]/[2[2-(4e/(1+2e))]]
|1/(x+1)-1/2| $<$ [4e/(1+2e)]/[2(2+4e-4e)/(1+2e)]
|1/(x+1)-1/2| $<$ [4e/(1+2e)]/[4/(1+2e)]
|1/(x+1)-1/2| $<$ e

Klopt deze redenering en is dit duidelijk genoeg verwoord ?

Met dank

Rudi
Ouder - donderdag 2 september 2021

Antwoord

Dit is wat ik op kladpapier zou doen. Maar het is geen goede uitleg want er staat niet bij waar dit allemaal goed voor is. Die pijlen horen niet in een netjes opgeschreven uitwerking. En aan het eind komt die breuk $4\varepsilon/(1+2\varepsilon)$ wel uit de lucht vallen, de lezer vraagt zich af waar die vandaan komt. Ook wordt $\delta$ twee keer gekozen; dat is ook niet mooi. Vlak voor die tweede keuze had je even samen kunnen vatten wat je gedaan hebt, namelijk afleiden dat voor $\delta$s kleiner dan $2$ de volgende implicatie geldt: als $|x-1|< \delta$ dan $|\frac1{x+1}-\frac12|<\frac\delta{2(2-\delta)}$.
En kennelijk heb je toen $\frac\delta{2(2-\delta)}=\varepsilon$ opgelost.

Het kan iets efficiënter door eerst $$|\frac1{x+1}-\frac12|$$ om te werken tot
$$\frac{|x-1|}{2(x+1)}
$$als we ons beperken tot positieve $x$-en hebben we $x+1>1$ en dus
$$\left|\frac1{x+1}-\frac12\right|<\frac12|x-1|
$$Bij gegeven $\varepsilon>0$ nemen we dan $\delta=\min\{1,\varepsilon\}$. Dan geldt namelijk: als $|x-1|<\delta$ dan geldt $x > 0$ en $|x-1|<\varepsilon$ en dus
$$\left|\frac1{x+1}-\frac12\right|<\frac12|x-1| < \frac12\varepsilon
$$

kphart
donderdag 2 september 2021

©2001-2024 WisFaq