Continue functies: oneindig veel oplossingen

De vraag luidt:

'Veronderstel dat g: $\mathbf{R}$² $\to$ $\mathbf{R}$ een continue functie is die voldoet aan g(0,0)= -1 en g(x,y)=1 voor alle x,y een element van de $\mathbf{R}$² met x² + y² =1. Argumenteer dat de vergelijking g(x,y)=0 oneindig veel oplossingen heeft.'

Ik heb dit al:

Stel (x,y) = (sin $\Phi$, cos $\Phi$). Dankzij deze substitutie weten we zeker dat voor alle $\Phi$ element van de $\mathbf{R}$ voldaan is aan de tweede vergelijking van het stelsel. Er rest dus ons nog te bewijzen dat g(sin $\Phi$, cos $\Phi$) oneindig veel oplossingen heeft. We definiëren de functie h: (0,2$\pi$) $\to$ $\mathbf{R}$ : $\Phi$ |$\to$ g(sin $\Phi$, cos $\Phi$). We weten dat de functie h continu is aangezien ze bestaat uit g die eveneens continu is (want de component functies zijn continu in de gegeven interval).

Ik weet niet hoe ik verder moet en ook hoe moet ik g(0,0)= -1 incorporeren in mijn argumentatie? We moeten denk ik sowieso de tussenwaardestelling gebruiken, maar hoe geraak ik tot hier?

Met vriendelijke groeten

Joy
Student universiteit België - maandag 15 januari 2018

Antwoord

Je functie $h$ is constant: voor elke $\phi$ geldt $h(\phi)=1$. Dat zal dus niet veel helpen.
Hier is een andere suggestie: neem een vaste $\phi$ en definieer $h_\phi:[0,1]\to\mathbb{R}$ door $h_\phi(t)=g(t\cos\phi,t\sin\phi)$. Dan geldt $h_\phi(0)=-1$ en $h_\phi(1)=1$. Nu kun je de tussenwaardestelling toepassen.

kphart
maandag 15 januari 2018

Re: Continue functies: oneindig veel oplossingen

©2001-2024 WisFaq