Waarom is de afgeleide de rico van de raaklijn?

Waarom is de afgeleide de rico van de raaklijn?

Mogelijk antwoord:

Tussen 2 punten (P en Q) teken je een lijnstuk, je berekent er de rico van. Als je de rico in een specifiek punt wil weten laat je delta x zo klein mogelijk worden. Je laat Q steeds dichter naderen naar het punt P.

Je berekent steeds de differentiequotiënt. De differentiequotiënt zal uiteindelijk naar 1 getal naderen. Q komt uiteindelijk zo dicht bij P dat de snijlijnen PQ de raaklijn in het punt P worden. Want P en Q vallen samen.

Is dit een goed genoeg antwoord op de vraag? Ik maak er ook nog een tekening bij om het te verduidelijken.

Gil De
3de graad ASO - zaterdag 10 juni 2017

Antwoord

Het korte antwoord is: zo is de definitie van de raaklijn.
Jouw redenering is een intuitieve rechtvaardiging van die definitie (die komt zo) maar niet helemaal correct: je gaat er van uit dat er een raaklijn is en dat `naderen naar een getal' wordt ook niet gerechtvaardigd.

De officiële definitie gaat als volgt: we hebben een functie $f$ en een punt $(a,f(a))$ op de grafiek. Je kunt een heleboel lijnen door dat punt trekken, allemaal met een vergelijking van de vorm $y=f(a)+p(x-a)$. De raaklijn (zo die er is) moet `zoveel mogelijk contact maken met de grafiek'. Hoe formuleer je dat zo precies mogelijk? Als volgt: bekijk het verschil tussen $f(x)$ en $f(a)+p(x-a)$ en deel dat door $x-a$:
$$
\frac{f(x)-\bigl(f(a)+p(x-a)\bigr)}{x-a}
$$
als de limiet voor $x$ naar $a$ van deze uitdrukking gelijk aan $0$ is dan vinden we dat er het `meeste contact' is tussen de grafiek en de lijn.

Er is ten hoogste één waarde van $p$ waarvoor dit lukt en als die bestaat dan noteren we die als $p=f'(a)$ en uitwerken van de limiet leidt dan tot de vertrouwde definitie van de afgeleide, de limiet is nul dan en slechts dan als:
$$
p=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
$$
Voorbeeld: $f(x)=x^2$, het quotient hierboven wordt nu
$$
\frac{x^2-a^2-p(x-a)}{x-a} = \frac{(x-a)(x+a-p)}{x-a} = x+a-p
$$
de limiet daarvan is alleen $0$ als $p=2a$.
Probeer zelf maar eens te laten zien waarom er ten hoogste één zo'n $p$ kan zijn.

kphart
zondag 11 juni 2017

©2001-2024 WisFaq