Convergentie of niet?

Is de reeks $
\eqalign{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {2n} \right)!}}
{{\left( {n!} \right)^2 }}}}
$ convergent of divergent? Graag met bewijs.

Willem
Docent - dinsdag 14 maart 2017

Antwoord

Hallo Willem,

Laten we de breuk $\eqalign{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$ eens nader onder de loep nemen:

Als $n>2$ dan:
$$\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot\dots\cdot(2n)}{n!} = \frac{n+1}1 \cdot \frac{n+2}2 \cdot\dots\cdot\frac{2n}n$$Merk nu op dat voor elke $m$ met $n>m>1$ geldt dat:
$$\frac{n+1}1 > \frac{n+m}m > \frac{2n}n = 2$$ Dus (voor $n>1$)
$$\frac{(2n)!}{(n!)^2}>2^n$$Daarmee zou je er uit moeten kunnen komen!

Met vriendelijke groet,

dinsdag 14 maart 2017

©2001-2024 WisFaq