Ik probeer dit te bewijzen: Zij X een compacte topologische ruimte en M een metrische ruimte. Zij f,g continue X- $>$ M. Stel dat f(x)=g(x) een benaderende oplossing heeft tot op een willekeurige nauwkeurigheid, hiermee bedoel ik ( $\forall $ $\varepsilon $ )( $\exists $ x $\in $ X)(d(f(x),g(x)) $<$ $\varepsilon $ ). Dan heeft de vergelijking een oplossing.
Schets van mijn aanpak: Ik wil dus hebben ( $\exists $ x $\in $ X)( $\forall $ $\varepsilon $ $>$ 0)(d(f(x),g(x) $<$ $\varepsilon $ ). Om de quantoren te verwisselen dacht ik om een set U_n={f(x):f(x) $\in $ B(g(x),1/n)} te introduceren, dan weet ik uit het gegeven dat er een x bestaat zodanig f(x) in U_n zit, waardoor die U_n niet leeg zijn, en mijn te bewijzen is dan dat de doorsnede van mijn U_n over alle n niet leeg is. Hiervoor wou ik gebruik maken dat als een eerste aftelbaarheidsruimte rijcompact $\Leftrightarrow $ elke dalende rij van niet lege,gesloten verzamelingen een niet lege doorsnede heeft. Ik weet al dat f(X) rijcompact is aangezien X compact is en f continu waardoor f(X) een compacte metrische ruimte is dus ook rijcompact. Mijn (U_n)n zijn niet leeg, en U_1 $\supseteq $ U_2 $\supset $ ... Dus resteert aan te tonen dat U_n gesloten zijn, en hier zit ik een beetje vast .
Ik vroeg me af of ik in de juiste richting zit te denken, of ben ik helemaal verkeerd? Alvast dank ik jullie!
Met vriendelijke groeten Rafik
Rafik
Student universiteit België - zaterdag 4 juni 2022
Antwoord
Je zit op de goede weg, maar niet helemaal. Je $U_n$ is een deelverzameling van $M$ en de definitie is wat dubbelzinnig; heel strikt genomen kun je $U_n$ ook schrijven als $\{m:m\in B(g(x),1/n)\}$ en dat is niet wat je wilt. Je zou $U_n$ moeten beschrijven als $$\{f(x):x\in X\text{ en }f(x)\in B(g(x),1/n)\}; $$ die is open maar niet noodzakelijk gesloten.
Maar het is beter in $X$ te werken en $F_n=\{x\in X: d(f(x),g(x))\le\frac1n\}$ te nemen. De $F_n$ zijn niet leeg en dankzij de $\le$ gesloten, en ook geldt altijd $F_{n+1}\subseteq F_n$. Gebruik nu de compactheid van $X$ en kijk naar $\bigcap_{n=1}^\infty F_n$.
.