\require{AMSmath}

Regel van L`Hôpital gebruiken

Beste

Als taak heb ik deze opgave:

Lim x$\to$ $\pi$/2 = (sin x - cos x)^{tan x}

Ik heb het al proberen oplossen via de regel ln (f(x)) = tan x × ln (sin x- cos x)

Hierbij kom ik e⁰ uit, maar het zou e^-1 moeten zijn. Hoe kan ik dit wel juist oplossen?

Alvast bedankt

Hanne
3de graad ASO - maandag 15 november 2021

Antwoord

Je kunt er dit van maken, door eerst $\ln(\sin x-\cos x)$ te schrijven als
$\ln\sin x+\ln(1-\frac1{\tan x})$:
$$\tan x\cdot\ln\sin x +\tan x\cdot\ln\left(1-\frac1{\tan x}\right)
$$De tweede term kun je omwerken dor $u=1/\tan x$ te substitueren; als $x\to\pi/2$ dan $u\to0$, dus daar komt
$$\lim_{u\to0}\frac{\ln(1-u)}u
$$en dat zou een bekende moeten zijn.
De eerste heeft een trucje nodig:
$$\ln\sin x=\frac12\ln\sin^2x=\frac12\ln(1-\cos^2x)
$$Er komt dus
$$\frac12\sin x\cdot\left(\frac{\ln(1+\cos x)}{\cos x}+\frac{\ln(1-\cos x)}{\cos x}\right)
$$De limiet van $\sin x$ is gelijk aan $1$, en tussen de haken krijg je $1-1=0$.

kphart
maandag 15 november 2021

©2001-2024 WisFaq