Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad die voldoet aan volgende voorwaarden:
de rechte ‘raakt’ de grafiek in het punt (-1,...)
de functie is overal stijgend en ‘buigt om’ van bol naar hol bij x =
de kleinste hellingshoek meet 59° 02’ 10.4764845”
RIk ve
3de graad ASO - dinsdag 15 juni 2021
Antwoord
Hallo Rik,
De kleinste hellingshoek os 59° 02' 10.4764845". Als ik geen rekenfout maak, is dit 59,03624...°. De tangens van deze hoek is 5/3. Dit onthouden we even.
De gestelde eisen zeggen veel over de afgeleide van de gevraagde derdergraadsfunctie. Je weet waarschijnlijk dat de afgeleide van zo'n derdegraadsfunctie een tweedegraadsfunctie is. Ik schrijf de afgeleide van de gevraagde functie als volgt:
f'(x) = a(x-p)2+q
Handig van deze vorm is dat (p, q) de coördinaten zijn van de top van de bijbehorende parabool. Uit de gestelde eisen kunnen we conclusies trekken:
De kleinste hellingshoek meet 59° 02’ 10.4764845”
Dus: de tangens van de kleinste hellingshoek is 5/3. Dus: het minimum van de helling van f(x) is 5/3. Dus: het minimum van f'(x) is 5/3, dus: q=5/3.
De functie is overal stijgend en ‘buigt om’ van bol naar hol bij x = ...
Dus: f'(x) wisselt van teken bij x= ... Dit gebeurt bij x=p, dus uit deze voorwaarde volgt de waarde van p.
de rechte ‘raakt’ de grafiek in het punt (-1,...)
Kennelijk is een rechte y=k.x+b gegeven waaraan de gevraagde functie raakt. Vul in de vergelijking van deze rechte x=-1 in, je vindt het raakpunt (-1, yr) waar f(x) de rechte raakt. In het raakpunt zijn de helling van f(x) en van de raaklijn gelijk. Dus:
f'(-1)=k
Hiermee is de waarde van a te berekenen.
Uit f'(x) = a(x-p)2+q volgt:
f(x) = 1/3a(x-p)3+qx+c
a, p en q(=5/3) ken je al, dus we zoeken alleen nog de waarde van c. Die vind je door het raakpunt (-1 , yr) in te vullen. Immers, de grafiek van f(x) moet door het raakpunt gaan.
