De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Gelijkmachtigheid en kardinaalgetal

Ik zit in de knoei met gelijkmachtigheid en kardinaalgetal.
  • Twee verzamelingen zijn gelijkmachtig indien er een bijectie tussen beide bestaat
  • De relatie 'is gelijkmachtig met' is een equivalentierelatie
  • De equivalentieklassen noemen we de kardinaalgetallen van de verzameling
Wel: neem nu de verzameling van de natuurlijke getallen met de relatie van y = 2x. Dan heb ik twee verzamelingen die gelijkmachtig zijn, nl. $\mathbf{N}$ en $\mathbf{N}$ X $\mathbf{N}$ door de relatie. Dan is het kardinaalgetal van $\mathbf{N}$ gelijk aan het kardinaalgetal van $\mathbf{N}$ /R, nl. aleph

Maar hoe moet ik die equivalentierelatie (reflexief, symmetrisch en transitief) en equivalentieklassen zien?

Geys Fons
Iets anders - donderdag 1 februari 2024

Antwoord

Het helpt als je de definities op je in laat werken.
  • De definitie van gelijkmachtig is in orde
  • Dat de relatie "is gelijkmachtig met" een equivalentierelatie is klopt, maar hou ik de gaten dat het een relatie tussen verzamelingen is
  • je volgende zin lijkt een (ongeoorloofde) mix van twee losse zinnen
    • de eerste is: "de equivalentieklassen noemen we kardinaalgetallen"
    • de tweede is: "het kardinaalgetal van een verzameling is de equivalentieklasse waar deze toe behoort"
Daarna gaat het helemaal mis: de relatie "$y=2x$" heeft niets met de bovenstaande relatie van gelijkmachtigheid te maken: je hebt zomaar wat opgeschreven. Tenzij je met "$y=2x$" iets bedoelt wat ik niet zie.
De relatie is in ieder geval geen equivalentierelatie op $\mathbb{N}$ dus equivalentieklassen levert hij ook niet op.

Het antwoord op je vraag, als we het over "$y=2x$" hebben, is: het is geen equivalentierelatie en er zijn geen equivalentieklassen.

Overigens: er is een bijectie tussen $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (probeer er maar een te maken) dus die twee verzamelingen zijn gelijkmachtig en bepalen dezelfde equivalentieklasse; in die klasse zitten ook de verzamelingen van gehele getallen, van rationale getallen, de algebra´sche getallen, en nog veel meer.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 februari 2024



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3