De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Lemniscaat

Een kromme wordt gegeven door de vergelijking in poolco÷rdinaten:

r= $\sqrt{}$cos(2$\theta$)).

Ik heb deze vergelijking kunnen omvormen naar de cartesische vorm:

x2+y2=$\sqrt{}$(x2-y2).

Maar weet niet hoe je de punten met een horizontale raaklijn en de punten met een verticale raaklijn hiervan zoekt? Via grafische weg denk ik dat de kromme eruitziet als een oneindig teken door de oorsprong?
Alvast veel dank,

Marc
Iets anders - maandag 1 januari 2024

Antwoord

Het kan op twee manieren: impliciet differentiŰren of de parametrisering gebruiken.

Om met de tweede te beginnen: we hebben
$x(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\cos\theta$ en
$y(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\sin\theta$.
Voor een horizontale raaklijn moet gelden $y'(\theta)=0$ en voor een verticale
hebben we $x'(\theta)=0$ nodig.
Met wat volhouden vind je
$$x'(\theta)=\frac{(\sin^2\theta-3\cos^2\theta)\sin\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$en
$$y'(\theta)=\frac{(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\cos\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$Als je $x'(\theta)=0$ oplost krijg je $\sin\theta=0$
of $\sin^2\theta=3\cos^2\theta$. De laatste leidt tot punten
met $x^2-y^2=x^2-3y^2$ en dat is negatief en valt dus af; blijft over
$\sin\theta=0$ en dus $y=0$. Stop dat in $x^2+y^2=\sqrt{x^2-y^2}$.

Uit $y'(\theta)=0$ haal je $\cos\theta=0$ (dus $x=0$) of
$\cos^2\theta=3\sin^2\theta$, dat geeft $\tan\theta=\pm\frac1{\sqrt3}$,
met bekende hoeken $\pm\frac\pi6$ en $\pm\frac{5\pi}6$.
Invullen geeft de gezochte punten.
Alternatief: dit geeft ook $x^2=3y^2$, stop dat weer in de vergelijking en los
op naar $y$ of $x$.

Het tweede doet alsof $y$ een functie van $x$ is (of andersom)
en differentieert dan.
Eerst even kwadrateren: $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$.
Differentieer naar $x$:
$$2(x^2+y^2)\cdot(2x+2y\cdot y')=2x-2y\cdot y'
$$omwerken geeft
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(1-2(x^2+y^2))}{y(1+2(x^2+y^2))}
$$Evenzo
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{y(1+2(x^2+y^2))}{x(1-2(x^2+y^2))}
$$Door $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ te stellen vind je $x=0$
of $x^2+y^2=\frac12$ en beide kun je in de vergelijking stoppen met resultaten
$y^4=-y^2$, en $x^2-y^2=\frac14$.

En $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0$ geeft alleen $y=0$.

Zie ook Lemniscaten in Pythagoras.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 1 januari 2024



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3