De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Hoeken bepalen in een driehoek en vierhoek

Gegeven: ΔABC met aangepaste indeling; $\angle$DAE = $\angle$CAD = 10 en $\angle$BCE = 40

Gevraagd: de hoek χ1 = $\angle$DBE en χ2 = $\angle$BDF.

Oplossing: Uit de gegeven hoeken kan men direct een aantal andere hoeken bepalen; ze staan genoteerd in blauwe kleur. In rechthoekige driehoek ΔBCE geldt dat $\angle$CBE = 90 - 40 = 50. In rechthoekige ΔACE geldt: $\angle$ACE = 90 - 210 = 70 en in rechthoekige ΔADE geldt: $\angle$ADE = 90 - 10 = 80. Hieruit volgt dan verder dat $\angle$CDF = 80 en in ΔCDF is $\angle$CFD = 180 - 40 - 80 = 60.

Op zijn beurt volgt hieruit dat in ΔBDF: $\angle$BFD = 120 (suppplementaire nevenhoek van $\angle$CFD = 60. In de vierhoek BEDF is de som van dehoeken 360 en drie van de vier hoeken zijn gekend, dus: $\angle$EDF = 360 -120 - 50 - 90 = 100.

Dit betekent ook dat: 90 - χ1 + χ2 = 100 of -χ1 + χ2 = 10 (1) De expressie geeft dus het verschil tussen de 2 te bepalen hoeken χ2 en χ1.

In ΔACD is de som van de hoeken ook 180, dus: $\angle$ADC + 70 + 10 = 180 of $\angle$ADC = 90 - χ1 + χ2 =100 hetgeen identiek is et (1).

PROBLEEM: Ik slaag er niet in een 2e expressie te vinden, onafhankelijk van (1), met daarin de som van de twee te bepalen hoeken χ1 en χ2.

VRAAG: Hoe slaag ik er in om een tweede lineair onafhankelijke vergelijking in χ1 en χ2? Graag een hint a.u.b. Bedankt bij voorbaat.

OPMERKING: Via logisch na te denken en rekening te houden met het feit dat χ1 $<$ 50 kwam ik er wel achter dat χ1 = 30 en χ2 = 40, maar ik realiseer me wel dat het niet de bedoeling is om zo te werk te gaan!

Yves De Racker
Iets anders - donderdag 19 januari 2023

Antwoord

Je plaatje is een deel van een sector van een regelmatige $18$-hoek.
q97530img1.gif
Wegens de symmetrie snijden de lijnen $BK$ en $HI$ elkaar in het punt $C$ op de lijn die een hoek van $20^\circ$ met de $x$-as maakt. De lijn $BL$ snijdt $AF$ precies op de lijn $HI$, in het punt $D$ dus. Dat kun je uitrekenen door vergelijkingen van de lijnen op te stellen en het stelsel op te lossen: $AF$ wordt gegeven door $y=x\tan10^\circ$, en $BL$ door $x\cos60^\circ+y\sin60^\circ=\cos60^\circ$. Na invullen komt er
$$
x=\frac{\cos 60^\circ}{\cos60^\circ+\tan10^\circ\,\sin60^\circ}
=\frac{\cos 60^\circ\,\cos10^\circ}{\cos60^\circ\,\cos10^\circ+\sin10^\circ\,\sin60^\circ}
=\frac12\frac{\cos10^\circ}{\cos50^\circ}
$$
van dat laatste maken we
$$
\frac12\frac{\sin80^\circ}{\sin40^\circ}
=\cos40^\circ
$$
dus het snijpunt ligt op $HI$, want die wordt gegeven door $x=\cos40^\circ$.

Nu kun je de waarden van je hoeken zo aflezen. Het idee is dus de lijn $BD$ als deel van een andere lijn, $BL$, te zien, waarbij de aard van de lijn $BL$ meteen de hoek hoek $\chi_1$ bepaalt.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 28 januari 2023



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3