WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vergelijkbaarheid tussen twee gebieden

Gegeven zijn twee convexe gebieden (convexe polygonen) A en B in $ $\mathbf{R}$ ^2$ met lege doorsnede. De zijden van een gebied kunnen ofwel tot een gebied horen of niet. Dus een gebied kan volledig open zijn, half open of gesloten.

Er geldt verder dat voor punten a en b: a $ \ge $ b dan en slechts dan als a componentsgewijs groter is dan b (dus in de horizontale en in de verticale richting).

Gevraagd is het bewijs van de volgende stelling:
Als er een punt a op een zijde van A groter of gelijk is dan een punt b op een zijde van B, waarbij a $ \ge $ b, dan geldt dat er een punt binnenin het gebied A (exclusief zijden) bestaat dat groter of gelijk is aan een punt binnenin het gebied B (exclusief zijden).

Ik heb grote moeite om dit probleem te bewijzen aangezien ik geen aannamen mag maken over of de zijden van A of B allemaal gesloten zijn/ half open of helemaal open. De stelling zou in al deze gevallen moeten werken. Bovendien kunnen die punten a en b ook vertices zijn, en met allemaal open zijden wordt dit wel een heel ingewikkeld verhaal denk ik. Mijn eerste idee was namelijk om infinitesimalen hoeveelheid in de richting van vector a-b te bewegen. Maar als alle zijden open zijn, dan kan het zo zijn dat a = b. Hulp is gewenst.
Arjen
Student universiteit - donderdag 15 december 2022

Antwoord

Je vraag is niet helemaal goed gesteld. Je schrijft "$a\ge b$ betekent "$a$ is componentsgewijs groter dan $b$". Dat lees ik als:
$$(a_1,a_2)\ge (b_1,b_2)\text{ betekent } a_1 > b_1 \text{ en }a_2 >b_2
$$In dat geval doet het probleem aan het eind van je vraag, namelijk $a=b$, zich niet voor. Het probleem is dan ook snel opgelost: neem $r$ gelijk aan het minimum van $(a_1-b_1)/3$ en $(a_2-b_2)/3$. Neem de schijfjes $S_a$ om $a$ en $S_b$ om $b$ met straal $r$. Als $x\in S_a$ en $y\in S_b$ dan geldt altijd $x\ge y$.

En de schijf $S_a$ bevat punten van $A$, en $S_b$ bevat punten van $B$.

Maar als $a\ge b$ betekent dat $a_1\ge b_1$ en $a_2\ge b_2$ dan gaat kan het misgaan als $a=b$.
Neem $a=b=(0,0)$ en voor $A$ het vierkant bepaald door de $x$-as, de $y$-as, de lijn $x=-1$ en de lijn $y=1$; voor $B$ het vierkant bepaald door de $x$-as, de $y$-as, de lijn $x=1$ en de lijn $y=-1$ (maak een plaatje).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 16 december 2022

Re: Vergelijkbaarheid tussen twee gebieden