WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs per inductie

Toon aan dat:

1⁴+2⁴+...+n⁴=$\frac{1}{30}$n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)

Ik heb geprobeerd een bewijs per inductie, maar dat lukt niet.
Ik kan geen 3(n+1)²+3(n+1)-1 krijgen
Kunt U help mij aub?
Mardon
Student universiteit België - vrijdag 23 oktober 2020

Antwoord

Bij de tweede stap in je bewijs met volledige inductie krijg je:

$
\eqalign{
& 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 = \frac{1}
{{30}}n\left( {n + 1} \right)(2n + 1)\left( {3n^2 + 3n - 1} \right) \cr
& Bewijs: \cr
& 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 + \left( {n + 1} \right)^4 = \frac{1}
{{30}}\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)(2(n + 1) + 1)\left( {3(n + 1)^2 + 3(n + 1) - 1} \right) \cr
& Inductiestap: \cr
& \frac{1}
{{30}}n\left( {n + 1} \right)(2n + 1)\left( {3n^2 + 3n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right)^4 = \frac{1}
{{30}}\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)(2(n + 1) + 1)\left( {3(n + 1)^2 + 3(n + 1) - 1} \right) \cr
& n(2n + 1)\left( {3n^2 + 3n - 1} \right) + 30\left( {n + 1} \right)^3 = \left( {n + 2} \right)(2n + 3)\left( {3n^2 + 9n + 5} \right) \cr}
$

Ik heb vast links en rechts vermenigvuldigd met 30 en gedeeld door $n+1$. Nu moet je laten zien dat als je het linker- en rechterlid uitwerkt dat er links en rechts hezelfde staat. Daarmee heb je dan laten zien dat als de stelling geldt voor $n$ deze ook geldt voor $n+1$.

Dat moet kunnen! Lukt dat?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 23 oktober 2020